12. Числовые и функциональные ряды

12.1. Виды рядов

1) Если гдето

–

называется числовым рядом.

2) Если гдето–функциональный ряд.

3) Если где– фиксированная точка;

–числа, то –степенной ряд.

4) В случае, когда степенной ряд принимает вид

12.2. Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов

Числовые ряды

где

Ряды положительных членов

Знакопеременные ряды

где среди U_n есть как положительные, так и отрицательные члены

где

Знакочередующие ряды

12.2.1. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЛЮБОГО ЧИСЛОВОГО РЯДА

Необходимый признак. Если ряд сходится, то

Следствие. Нарушение необходимого признака является достаточным признаком расходимости числового ряда:

если то ряд расходится.

Достаточный признак. Если то ряд сходится.

12.2.2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ

1. Признаки сравнения. Пусть исследуемый ряд (неиз-вестного поведения в смысле сходимости), а– известный ряд.

1.1. Если существует то оба ряда либо сходятся, либо расходятся одновременно.

1.2. Если начиная с некоторого номераn и ряд (2) сходящийся, то сходится и ряд (1).

1.3. Если, начиная с некоторого номера n, и ряд (2) расходящийся, то расходится и ряд (1).

2. Признак Даламбера.

Если существует и если

3. Интегральный признак Коши.

Если и– функция монотонно убывающая, то рядсходится или расходится вместе с несобственным интегралом

4. Радикальный признак Коши.

Если существует то

12.2.3. Стандартные числовые ряды с положительными членами

1. – расходящийсягармонический ряд;

2. –расходящийся рядтипа гармонического,

где р – действительные числа;

3. –ряд Дирихле: при сходится, прирасходится.

12.2.4. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда

Пусть среди членов ряда есть как положительные, так и отрицательные и– ряд модулей (ряд, составленный из абсолютных величин членов данного знакопеременного ряда). Тогда, еслиряд модулей сходится, то сходится и данный знакопеременный ряд.

12.2.5. Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов (теорема лейбница)

Если последовательность членов знакочередующегося ряда убывающая: и еслитознакочередующийся ряд –сходится.

Следствие. Сумма сходящегося знакочередующегося ряда по абсолютной величине меньше первого члена. Остаток ряда по абсолютной величине меньше первого отбрасываемого члена.

Оценка остатка знакочередующегося ряда. Если в сходящемся знакочередующемся ряде ограничиться n первыми членами, то остаток будет по модулю меньше первого отбрасываемого члена. Следовательно, абсолютная величина погрешности, когда сумму сходящегося знакочередующегося ряда заменяютn-ой частичной суммой, не превосходит модуля того члена ряда, начиная с которого отбрасывают:

12.2.6. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

1. Если ряд модулей знакопеременного ряда сходится, то данный знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.

2. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно сходящимся.