Свойства простейших векторных полей

1) Векторное поле а, для всех точек которого дивергенция равна нулю , называетсятрубчатым или соленоидальным.

2) Если во всех точках поля а ротор равен нулю: , то поле называетсябезвихревым или потенциальным.

3) Векторное поле а, являющееся одновременно и потенциальным () и соленоидальным (), называетсягармоническим.

11. Дифференциальные уравнения

11.1. Основные понятия

● Уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию и ее производные, называетсядифференциальным. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший из порядков входящих в это уравнение производных искомой функции. Например, уравнения и– первого порядка; уравненияи– второго порядка; уравнение– четвертого порядка. Общий вид уравненияn-го порядка

(1)

В частности, это уравнение, разрешенное относительно старшей производной, примет вид

(2)

● Решением дифференциального уравнения называется функция , которая после подстановки ее и ее производных превращает уравнение в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

● Задача Коши: найти решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям …,(начальные условия).

Можно показать, что при определенных требованиях к правой части уравнения (2) данная задача (задача Коши) имеет единственное решение. Рассмотрим эти требования, например, для дифференциального уравнения первого порядка (3)

Теорема Коши (существования и единственности решения). Если правая часть уравнения (3) и ее частная производнаяопределены и непрерывны в некоторой областиD изменения переменных х и у, то, какова бы ни была внутренняя точка этой области, данное уравнение имеет единственное решение, которое припринимает заданное значение.

Геометрический смысл теоремы Коши следующий: через каждую внутреннюю точку областиD проходит единственная интегральная кривая.

Дадим теперь определение общего и частного решений дифференциального уравнения (3), правая часть которого удовлетворяет в некоторой областиD условиям теоремы Коши.

● Функция , зависящая от аргументах и произвольной постоянной С, называется общим решением уравнения (3) в области D, если она удовлетворяет двум условиям:

1) при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству, функция является решением уравнения (3);

2) какова бы ни была точка , лежащая внутри областиD, существует единственное значение постоянной такое, что решениеудовлетворяет начальному условию:.

Всякое решение уравнения (3), получающееся из общего решенияпри конкретном значении, называетсячастным решением.

Если общее решение дифференциального уравнения найдено в виде, не разрешенном относительно у, т. е. в виде , то оно называетсяобщим интегралом уравнения.

11.2. Виды и способы решения дифференциальных уравнений

Название и вид дифференциального уравнения		Способ решения
1. Дифференциальные уравнения первого порядка
1	2	3
1.1	Уравнение с разделяющимися переменными	Делим на произведение «лишних» множителей:
1.2	Однородное	Подстановка
1.3	Линейное	Подстановка 1) 2)
1.4	Уравнение Бернулли	Подстановка 1) 2)
2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка
2.1		Умножая обе части уравнения на dx и интегрируя n раз, получим общее решение
2.2	В явном виде не содержит у:	Подстановка
2.3	В явном виде не содержит х:	Подстановка

Продолжение таблицы

3. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
1	2	3
	Характеристическое уравнение	а) Корни характеристического уравнения действительные и различные, то есть , следовательно, частные линейно независимые решения: Общее решение: б) Корни характеристического уравнения действительные и равные, то есть тогда значитобщее решение: в) Корни характеристического уравнения комплексные: Частные линейно независимые решения уравнения: Общее решение:
4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
		Общее решение где – общее решение соответствующего однородного уравнения;– какое-либо частное ре-шение неоднородного уравнения
4.1		где – многочлен той же сте-пени, что и k – кратность корня в характеристическом уравнении

Окончание таблицы

1	2	3
4.2		и –многочлены наивысшей степени среди степеней многочленов и,
4.3		где – частное решение уравнения с правой частью –частное решение уравнения с правой частью
4.4	Правая часть дифференциального уравнения имеет общий вид:	Метод вариации произвольных постоянных. Общее решение: гдеи–частные, линейно независимые ре-шения соответствующего однород-ного уравнения; –функции, определяемые из системы: