§8. Определение составляющих временного ряда

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость последовательных значений ряда от времени, или тренда. Этот способ называется аналитическим выравниванием временного ряда.

Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

• линейная y = a+bt;

• гиперболическая ;

• экспоненциальная ;

• степенная: y = a t^b ;

• многочлен n-ого порядка: y = a+b₁ t+b₂ t²+…+b_n tⁿ.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить методом наименьших квадратов, используя в качестве независимой переменной время t, а в качестве зависимой переменной – фактические значения временного ряда y_t. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости значений ряда от времени.

Для анализа периодической составляющей временного ряда можно использовать аппарат тригонометрических рядов Фурье

, (8.1)

где T – полупериод, т.е. x(t+2T) = x(t), а коэффициенты ряда a_k, b_k вычисляются по

формулам:

. (8.2)

В частности, при Т = получаем тригонометрический ряд

. (8.3)

При этом коэффициенты ak, bk будут равны

Если функция x (t) четная, т.е. выполняется равенство x (-t) = x (t ), то в (8.1), (8.3)

b_k = 0, а для коэффициента a_k получим формулу: . Если же функцияx (t) нечетная, так что x (-t) = -x (t ), то a_k = 0, а для коэффициента b_k получим .

Если функция x(t) задана только в промежутке (0,T ), то ее можно продолжить в промежуток (-T,T ) четным или нечетным образом и следовательно, представить в виде ряда Фурье только по косинусам

или только по синусам:

.

§9. Временной ряд как случайный процесс

Пусть значение экономического показателя x( t ) в любой момент времени t представляет собой случайную величину X (t ). Предположим, что случайная величина X (t) является непрерывной. Тогда существует плотность вероятности f (x,t), по которой определяется вероятность случайного события

.

Рассмотрим также математическое ожидание

(9.1)

и дисперсию

. (9.2)

Если плотность вероятности f ( x,t )=f (x) не зависит от времени, то математическое ожидание и дисперсия будут постоянными величинами.

Рассмотрим два произвольных момента времени t₁ и t₂. Случайные величины X (t₁) и X (t₂ ) харатеризуются плотностью совместного распределения вероятностей f (x₁,t₁; x₂,t₂). При этом ковариация cov (X(t₁),X(t₂)) вычисляется по формуле

.

Аналогично рассматривается значение случайного процесса X (t) в трех, четырех и более точках t_k, при этом вводится многомерная плотность распределения f (x₁,t₁; x₂,t₂; …, x_m,t_m,).

Случайный процесс называется стационарным, если при сдвиге по времени на произвольную величину T функция распределения (а значит и плотность) не изменится . В этом случае плотность f (x,t) не зависит от времени: f (x,t) = f (x,t+T) = f (x,0), а двумерная плотность f (x₁, t₁; x₂, t₂) зависит от разности = t₁-t₂. Введя автокорреляционную функцию случайного процесса K( )=cov(X(t),X(t+)) , можно доказать, что для нее выполняются следующие свойства:

1) K(- ) = K( );

2) |K( )| K(0);

3) K (0 ) = DX.Иногда функцию K( ) называют автоковариационной, а термин «автокорреляция» связывают с нормированной величиной ( )= K( )/ K(0).

Напомним, что для стационарного случайного процесса математическое ожидание = EX(t) и дисперсия DX = E(X(t)- )² являются постоянными величинами. Если о случайном процессе известно, что EX и DX постоянны, а корреляционная функция зависит только от ( и не зависит от t), то случайный процесс называется стационарным в широком смысле.

Пусть значения временного ряда x_t ( t = 1,2,...n) являются равноотстоящими по времени значениями стационарного случайного процесса X(t) с математическим ожиданием μ = EX(t) и корреляционной функцией K(τ) = E(X(t),X(t+τ)), при этом дисперсия DX = K(0) σ². Несмещенной оценкой величины является среднее по времени

В качестве оценки корреляционной функции K(τ) при = 0,1,2,...n-1 принимается величина

Важной характеристикой стационарного случайного процесса является спектральная плотность

. (9.3)

Из (9.3) следует, что

.

Вследствие четности функции K() справедлива формула:

.

Для S(ω) принимается оценка

,

где весовые коэффициенты W_j вводятся для сглаживания случайных осцилляций вычисляемых значений S(ω). На практике вычисление корреляционных функций и спектральной плотности выполняется с использованием статистических компьютерных пакетов, например, системы STATISTICA.