§11. Учет сезонных составляющих

Обобщение модели ARIMA, позволяющие учесть периодические (сезонные) составляющие временного ряда было предложено Дж. Боксом и Г. Дженкинсом [2]. Этот метод реализован в системе статистической обработки данных STATISTICA, поэтому мы коротко его опишем.

Пусть ряд x_t имеет период S , так, что x_t = x_t-s . Модель Бокса-Дженкинса имеет вид

A(Q^S) ^D_S x_t = B(Q^S)ζ_t (11.1)

a(Q) ^d x_t = b(Q)_t , (11.2)

где Q^Sx_t = x_t-s , _S x_t = x_t - x_t-s = (1- Q^S )x_t ,

A(Q)= 1+A₁ Q+A₂ Q²+…A_M Q^M

B(Q)= 1+B₁ Q+B₂ Q²+…B_N Q^N

Из формул (11.1), (11.2) видно, что модели характеризуются двумя тройками чисел (M,D,N) и (m,d,n). Ряд ζ_t введен для удобства, в принципе его можно исключить. Например, пусть M = m = 0, N = n = 1, D = d = 1, S = 12. Модель (11.1), (11.2) примет вид

₁₂x_t= ζ_t+B₁ζ_t-12

ζ_t = _t+b_1t-1 (11.3)

Но ₁₂ x_t = x_t-x_t-12, ζ_t = ζ_t-ζ_t-1 Поэтому

x_t-x_t-12 = ζ_t+B₁ζ_t-12 (11.4)

x_t-1-x_t-13 = ζ_t-1+B₁ζ_t-13 (11.5)

Теперь вычтем (11.5) из равенства (11.4):

x_t-x_t-12- x_t-1+x_t-13 = ζ_t- ζ_t-1 +B₁(ζt_-12- ζ_t-13).

Используя формулу (11.3), получим окончательно

x_t-x_t-12- x_t-1+x_t-13 = _t +b_1t-1+ B₁(_t-12+ b_{1 t-13}).

Коэффициенты b₁, B₁ можно подобрать по данным x_t . В примере, приведенном в книге [2], оказалось, что b₁ = -0,4; B₁ = - 0,6.

Глава 3. Оценка качества спецификации модели §12. Анализ погрешностей исходной информации

Значения экономических показателей обычно известны неточно, с некоторой погрешностью. Рассмотрим основные правила обработки данных, содержащих погрешности, или ошибки измерений. Пусть число a представляет точное (неизвестное нам) значение некоторой величины, а x_i (i=1,2,…,n) – известные приближенные значения той же величины, при этом

x_i=a+ _i , (12.1)

где _i – погрешность i-го измерения. Значения погрешностей _i нам неизвестны, т.к. неизвестно точное значение a, но, как правило, удается оценить модуль разности

| x_i –a|< . (12.2)

Величину > 0 называют предельной абсолютной погрешностью, или короче, абсолютной погрешностью. Если a≠0 , то можно ввести относительную погрешность δ= /|a|. На практике величину относительной погрешности вычисляют по формуле δ = /||, полагая

. (12.3)

Принято использовать запись a=x как условную запись неравенства

x-<a<x+ (12.4)

и запись a=x(1δ) как сокращенную запись неравенств

x(1-δ)<a<x(1+δ) . (12.5)

Величина относительной погрешности δ связана с числом верных десятичных знаков числа x. Рассмотрим этот вопрос на простых примерах. Число a=51.00.5 имеет два верных десятичных знака. Поэтому относительная погрешность δ=0.5/51≈0.01 или 1%. Число b=0.510.005 также имеет два верных знака и ту же относительную погрешность δ=1%. Если число задается с тремя верными знаками, то относительная погрешность будет иметь порядок 0.1%. Например, если a=5100.5, то δ=0.001 или 0.1%. Рассматривая в качестве примеров числа 110 и 910 (с тремя верными знаками), нетрудно проверить, что относительная погрешность δ этих величин будет меняться в пределе от 0.05% до 0.5%. При двух верных десятичных знаках относительная погрешность изменяется в диапазоне 0.5% 5%.

Различают погрешности (ошибки) систематические и случайные. Если часы спешат или отстают, то они показывают время с некоторой систематической ошибкой. Для ее устранения нужно узнать точное время и выставить часы правильно. В общем случае для устранения систематической ошибки либо заменяют измерительный прибор на более точный, либо вводят поправку на систематическую ошибку (в астрономии, навигации и т.п.).

Анализ случайных ошибок проводится с применением методов теории вероятности и математической статистики. Пусть величина _i в равенстве (12.1) является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием E _i=0 и дисперсией D _i = ², что принято записывать как _iN(0, ²).

Измеренные значения x_i также являются случайными величинами, при этом Ex_i=a, Dx_i= ². Интуиция подсказывает нам, что среднее арифметическое (12.3) является лучшей оценкой для величины a, чем отдельные наблюдения x_i . Действительно, оценка является несмещенной, а дисперсия среднегоприn∞ стремится к нулю. Величину дисперсии измерений ² можно оценить по данным x_i известными формулами

(12.5)

или

(12.6)

При этом оценка (12.5) является смещенной оценкой дисперсии ², так как известно [3], что . Оценка (12.6) несмещенная:. В теории ошибок величинаназывают средней квадратичной ошибкой серии наблюдений {x_i}, а величина средней квадратичной ошибкой среднего арифметического.