§18. Статистические гипотезы

В предыдущих параграфах рассматривалась методика моделирования взаимосвязей экономических показателей и процессов. С помощью полученных уравнений регрессии моделировалась эта связь. Качество выбранной модели оценивалось коэффициентом детерминации; её соответствие фактической, реально существующей связи, коэффициентом аппроксимации. Эти оценки необходимо дополнить оценкой значимости полученной модели в целом и отдельных её параметров. Оценка значимости модели в целом производится с помощью F- критерия Фишера, а отдельных её параметров - посредством t-критерия Стьюдента. Для получения искомых оценок формулируются и проверяются статистические гипотезы: основная или нулевая гипотеза (обозначается Н₀ ) и альтернативная Н₁.

Суть нулевой гипотезы заключается в том, что делается предположение об отсутствии связи между рассматриваемыми экономическими показателями или явлениями, т.е. о несущественности рассматриваемой связи. Альтернативная гипотеза Н₁ утверждает наличие связи между анализируемыми величинами и явлениями. По оценке «истинности» или «ложности» нулевой гипотезы, делается вывод о значимости модели.

Как уже отмечалось, количественные оценки исходной информации носят случайный характер и, следовательно, параметры разработанных моделей носят элементы случайности. В связи с этим «истинность» или «ложность» нулевой гипотезы может быть принята лишь с определенной степенью вероятности. Вероятность отвергнуть правильную гипотезу, т.е. совершить ошибку 1-го рода, называется уровнем значимости нулевой гипотезы, обозначается α и обычно принимается равной 0,05 или 0,01.

Если нулевая гипотеза «ложна», но принимается, то совершается ошибка 2-го рода, вероятность которой обозначается β. Число (1 – β) называется мощностью критерия, являясь вероятностью того, что справедлива альтернативная гипотеза Н₁.

Схема возможных вариантов осуществления метода нулевой гипотезы приведены на рис. 7.

Рис. 7. Схема вариантов нулевой гипотезы.

§19. F – статистика

Значимость регрессионной модели определяется с помощью F-критерия Фишера. Для этого вычисляется отношение

(19.1)

где n число парных наблюдений; m число независимых переменных x_i; R² коэффициент детерминации; RSS сумма квадратов отклонений y_i от среднего , объясненная регрессией;ESS остаточная сумма квадратов отклонений (см. §15).

Для парной регрессии m = 1, поэтому формула (19.1) примет вид:

(19.2)

Можно сказать, что F-критерий определяет отношение факторной и остаточной дисперсии, рассчитанных на одну степень свободы. Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии мало отличаются друг от друга. Для опровержения нулевой гипотезы необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз.

Величина F имеет распределение Фишера с ν₁ = m и ν₂ = n-m-1 степенями свободы [3]. Задавая уровень значимости α (в частности, принимая α = 0,05) и находя из таблиц или с помощью пакетов EXCEL , STATISTICA и др. величину F_табл(ν₁, ν₂ , α), сравниваем F и F_табл . Табличное значение F_табл - критерия -- это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном расхождении для данного уровня вероятности и при условии, что нулевая гипотеза справедлива. Если F > F_табл , то уровень регрессии признается статистически значимым и нулевая гипотеза отвергается. Если же F < F_табл, то нулевая гипотеза принимается, т.е. зависимость между x и y признается несущественной.

§20. t – статистика

Для оценки значимости отдельных параметров регрессионной модели y=a+bx+ их величина сравнивается с их стандартной ошибкой. При этом рассчитывается так называемый t – критерий Стьюдента

(20.1)

где a, b – параметры модели; s_a , s_b – ошибки параметров; r – линейный коэффициент корреляции; s_r – ошибка линейного коэффициента корреляции.

Значение t—критерия сравнивается с табличным значением при определенном уровне α и числом степеней свободы.

Ошибки параметров модели определяются по следующим формулам:

(20.2)

(20.3)

где S² оценка (13.8) при m = 2.

Ошибка линейного коэффициента корреляции r, введенного в §15, определяется по формуле

(20.4)

По формулам (20.1) – (20.4) рассчитываются значения t - критерия .

Величины t имеют распределение Стьюдента. Задавая уровень значимости α при числе степеней свободы =n-2 и находя из таблиц или с помощью пакетов EXCEL , STATISTICA и т.п. величину t_табл(ν, α), сравниваем t и t_табл . Если t > t_табл , то соответствующий параметр признается статистически значимым (при уровне ошибки α) и нулевая гипотеза, утверждающая ,что данный параметр равен нулю, отвергается. Если же t < t_табл, то нулевая гипотеза принимается, т.е. значимость данного параметра несущественна.