Случай 2.

Через две различные точки (x₀,y₀), (x₁,y₁) проходит одна и только одна прямая. Если x₀ x₁, то ее уравнение имеет вид:

. (2.3)

Оно получается почленным делением уравнения (2.2) на равенство

y₁-y₀ = b(x₁-x₀).

Уравнение (2.3) приводится к виду:

. (2.4)

Вместе с тем можно непосредственно убедится в том, что уравнение (2.4) определяет линейную зависимость между величинами y и x и что графиком этой зависимости является прямая линия, которая проходит через точки (x₀,y₀) и (x₁,y₁).

Случай 3.

Многочлен второй степени (квадратичная функция), график которой проходит через три точки (x₀,y₀), (x₁,y₁), (x₂,y₂), представляется в виде

. (2.5)

Заметим, что дроби при величине y_i (i = 0,1,2) обращаются в единицу, если x = x_i,, и равны нулю при x = x_k (k i ).

Случай n.

Теперь ясно, что интерполяционный полином Лагранжа n-ой степени, график которого проходит через n+1 точку (x_i,y_i), i=0,1,2,…,n, можно записать в виде:

,

где

.

При этом функция L_k (x) равна 1 при x = x_k и равна нулю в остальных узлах x_j ( j k).

Заметим, однако, что в эконометрике необходимость в использовании интерполяционного многочлена степени выше второй встречается крайне редко. Как правило, эмпирические данные (x_i ,y_i) соответствуют какой-нибудь простой зависимости между переменными, например, линейной, но содержат ошибки измерений, вследствие чего точки (x_i, y_i) не лежат на одной прямой (рис.7).

Рис.7

§3. Парная линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

Пусть имеется n пар чисел (x_i, y_i), i=1,2,…,n, относительно которых предполагается, что они отвечают линейной зависимости между величинами x и y:

y=a+bx, (3.1)

возможно, с некоторой ошибкой _i, так что

y_i=a+bx_i+ _i, i=1,2,…,n . (3.2)

Какими должны быть наилучшие значения параметров a и b?

Применяя метод наименьших квадратов, мы требуем, чтобы сумма квадратов ошибок _i была наименьшей:

min. (3.3)

Подставляя значения _i из (3.2) в (3.3), получим функцию

min.

Необходимым условием минимума этой функции, как известно, является равенство нулю ее частных производных по a и b: ,

. Вычисляя производные, приходим к системе уравнений

(3.4)

Заметим, что уравнения (3.4) можно записать короче в виде

(3.5)

Если раскрыть скобки в уравнениях (3.4), то после простых преобразованийполучим систему

(3.6) решение которой находится без большого труда:

, (3.7)

. (3.8)

Введем обозначения:

(3.9)

, (3.10)

. (3.11)

В курсах математической статистики величины ,называются выборочными средними,­­­­­­­­ – выборочной дисперсией,– выборочной ковариацией. Теперь формулу (3.8) можно переписать в виде

, (3.12)

а выражение для a получается из первого уравнения (3.6):

. (3.13)

Из формулы (3.13) видно, что точка лежит на прямойy=a+bx (при найденных значениях a и b). Поэтому функцию (3.1) можно записать также в виде , где параметрb определяется по формуле (3.12).

Предположим теперь, что зависимость y от x не является линейной и выражается формулой

y_i = a+bf(x_i)+_i , i =1,2,…,n . (3.14)

Введем обозначения

; ,,,

где n – число измеренных значений фактора x, а F_i = f(x_i).

В матричной форме система уравнений (3.14) принимает стандартный вид

Y = F+. (3.15)

Для определения параметров a и b, объединенных в вектор , можно применить метод наименьших квадратов (отметим, что относительно искомых параметров формула (3.14) осталась линейной). В следующем параграфе показано, что решение этой задачи имеет вид

= (F^TF)^-1F^TY. (3.16)