§5. Нелинейные модели

Мы изучили применение метода наименьших квадратов для определения параметров, которые входят в функциональные зависимости линейно. Поэтому для них в параграфах 3 и 4 получились системы линейных уравнений (3.6), (4.8). Однако в эконометрике приходится иметь дело и с такими функциональными зависимостями, неизвестные параметры которых входят в эти зависимости нелинейно. Например, параметр в зависимостях

y=ax , (5.1)

y=ae^x (5.2)

в случае двух величин (x,y), параметры ₁, ₂, …, _m в зависимости

(5.3)

и др. Типичным примером является функция Кобба – Дугласа y=aLK, где a>0, 0<<1, 0< <1, обычно принимают также условие + =1. Эта функция выражает зависимость произведенной продукции y от объема привлеченных трудовых ресурсов (числом рабочих, человеко-часов и т.п.) L и объема основных фондов K.

При определении параметров в формуле (5.1), (5.2) или параметров ₁, ₂, …, _m в формуле (5.3) методом наименьших квадратов их следует предварительно прологарифмировать. Например, логарифмирование степенной функции y=ax дает уравнение

ln y=ln a+ ln x,

линейное относительно величин A=ln a и . Сделав замену переменных: Y=ln y,

A=ln a, X=ln x, получим соотношение Y=A+X, определение параметров которого по методу наименьших квадратов приведет к системе линейных уравнений. Линеаризация формулы (5.3) также достигается логарифмированием:

ln y=ln a+ ₁ln x₁+₂ln x₂+…+_mln x_m,

Замена переменных: Y=ln y, A=ln a, X_i=lg x_i приводит к модели линейной множественной регрессии

Y=A+₁X₁+₂X₂+…+_mX_m.

Есть модели, которые не могут быть приведены к линейному по коэффициентам виду. Например: . Для оценки параметров таких моделей используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода. Однако гораздо большее распространение получили модели, приводимые к линейному виду. Оценка параметров такого типа моделей реализовано в стандартных пакетах прикладных программEXCEL, STATISTICA и др.

Таким образом, если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью нелинейных функций. Различают два класса нелинейных моделей:

модели, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

модели, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примерами нелинейных моделей первого класса могут служить следующие функции:

полиномы разных степеней: y = a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ;

гиперболическая зависимость:

тригонометрические полиномы y= a₁ sin x +b₁cos x + a₂ sin 2x +b₂ cos2 x+… + a_m sin mx +b_mcos mx.

К нелинейным моделям второго класса относятся функции:

степенная: y = ax^b ;

показательная: y = ab^x ;

экспоненциальная: .