- •Оглавление
- •1. Введение, основные понятия
- •2. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам
- •2.1. Формула наращения
- •2.1.1. Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд
- •2.1.2. Переменные ставки
- •2.1.3. Начисление процентов при изменении суммы депозита во времени
- •2.1.4. Реинвестирование по простым ставкам
- •2.2. Погашение задолженности частями
- •2.2.1. Контур финансовой операции
- •2.2.2. Частичные платежи
- •2.3. Наращение процентов в потребительском кредите
- •2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке
- •2.4.1. Математическое дисконтирование
- •2.4.2. Банковский учет (учет векселей)
- •2.4.3. Наращение по учетной ставке
- •2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам
- •3. Сложные проценты
- •3.1. Начисление сложных годовых процентов
- •3.1.1. Формула наращения
- •3.1.2. Начисление процентов в смежных календарных периодах
- •3.1.3. Переменные ставки
- •3.1.4. Начисление процентов при дробном числе лет
- •3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам
- •3.3. Наращение процентовmраз в году. Номинальная и эффективная ставки
- •3.3.1. Номинальная ставка
- •3.3.2. Эффективная ставка
- •3.4. Дисконтирование по сложной ставке
- •3.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •3.5.1. Учет по сложной учетной ставке
- •3.5.2. Номинальная и эффективная учетные ставки
- •3.5.3. Наращение по сложной учетной ставке
- •3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок
- •3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки
- •3.7.1. Срок ссуды
- •3.7.2. Величина процентной ставки
- •4. Производные процентные расчеты
- •4.1. Средние процентные ставки
- •4.1.1. Простые ставки
- •4.1.2. Сложные ставки
- •4.1.3. Усреднение ставок в однородных операциях
- •4.2. Эквивалентность процентных ставок
- •4.2.1 Эквивалентность простых процентных ставок
- •4.2.2. Эквивалентность простых и сложных ставок
- •4.2.3. Эквивалентность сложных ставок
- •4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей
- •4.3.1. Финансовая эквивалентность обязательств
- •4.3.2. Консолидирование (объединение) задолженности
- •4.3.3. Определение размера консолидированного платежа
- •4.3.4. Определение срока консолидированного платежа
- •4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта
- •5. Аннуитеты
- •5.1. Обыкновенные и полагающие аннуитеты
- •5.2. Определение платежей аннуитета и процентной ставки
- •6. Инвестиции
- •6.1. Чистый приведенный доход (чпд)
- •6.2. Срок окупаемости
- •6.3. Функция риска
- •7. Финансовая эквивалентность в страховании
- •Рекомендуемая литература
3.3.1. Номинальная ставка
При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой (3.1). В этом случае nозначает число периодов начисления, аi– ставка за соответствующий период. Пустьj– годовая ставка, аm– число периодов начисления в году. Каждый раз проценты начисляются по ставке. Ставкуjназывают номинальной. Формула наращения:
, (3.7)
где – общее число периодов начисления процентов.
Пример 3.6.Изменим одно условие в примере 3.1. Пусть теперь проценты начисляются не один раз в году, а поквартально. В этом случаеN= 20. Найти сумму долга.
руб.
А при ежегодном начислении процентов мы получим
руб.
Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс). Например:
m |
1 |
2 |
4 |
12 |
365 |
Множитель наращения |
6,1917 |
6,7275 |
7,04 |
7,2682 |
7,385 |
Пример 3.7.Какова сумма долга через 25 месяцев, если его первоначальная величина500 тыс. руб., проценты сложные, ставка 20 % годовых, начисление поквартальное?
По условиям задачи число периодов наращения N= 25 : 3 = 8⅓. Применим два метода наращения: общий и смешанный.
1. Общий метод:
руб.
2. Смешанный метод:
руб. [10, с. 49–51].
3.3.2. Эффективная ставка
Другое название – действительная ставка. Она измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке.
Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной ставке и номинальной ставке приm-кратном начислении процентов) должны быть равны друг другу:
.
Отсюда следует:
. (3.8)
При m>1 эффективная ставка больше номинальной.
Если в договоре номинальная ставка jприm-кратном начислении процентов заменяется на эффективную ставкуi, то финансовые обязательства сторон договора не изменятся. Обе ставкиэквивалентны в финансовом отношении. Поэтому разные по величине номинальные ставки оказываются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки одинаковы.
Пример 3.8.Найти размер эффективной ставки, если номинальная ставка равна 25 % при ежемесячном начислении процентов.
.
Для участвующих в сделке сторон безразлично, применить ставку 25 % при ежемесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28,0732 %.
Введем обозначение j(m)– размер номинальной ставки и число начислений за год. Эквивалентная замена номинальной ставки имеет место только когда выполняется равенство:
.
Поскольку mможет принимать только целые значения, то удобнее определять значение новой ставки, задавшись величинойm2:
.
Пример 3.9.Определить номинальную ставкуj(4), которая безубыточно заменяет ставкуj(12)= 25 % в примере 3.8.
.
Т. о., сокращение количества начислений потребует увеличения ставки с 25 % до 25,524 %.
При подготовке контрактов может возникать необходимость определенияjпо заданным значениямiиm [10, с. 51–53]:
. (3.9)