- •Оглавление
- •1. Введение, основные понятия
- •2. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам
- •2.1. Формула наращения
- •2.1.1. Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд
- •2.1.2. Переменные ставки
- •2.1.3. Начисление процентов при изменении суммы депозита во времени
- •2.1.4. Реинвестирование по простым ставкам
- •2.2. Погашение задолженности частями
- •2.2.1. Контур финансовой операции
- •2.2.2. Частичные платежи
- •2.3. Наращение процентов в потребительском кредите
- •2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке
- •2.4.1. Математическое дисконтирование
- •2.4.2. Банковский учет (учет векселей)
- •2.4.3. Наращение по учетной ставке
- •2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам
- •3. Сложные проценты
- •3.1. Начисление сложных годовых процентов
- •3.1.1. Формула наращения
- •3.1.2. Начисление процентов в смежных календарных периодах
- •3.1.3. Переменные ставки
- •3.1.4. Начисление процентов при дробном числе лет
- •3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам
- •3.3. Наращение процентовmраз в году. Номинальная и эффективная ставки
- •3.3.1. Номинальная ставка
- •3.3.2. Эффективная ставка
- •3.4. Дисконтирование по сложной ставке
- •3.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •3.5.1. Учет по сложной учетной ставке
- •3.5.2. Номинальная и эффективная учетные ставки
- •3.5.3. Наращение по сложной учетной ставке
- •3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок
- •3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки
- •3.7.1. Срок ссуды
- •3.7.2. Величина процентной ставки
- •4. Производные процентные расчеты
- •4.1. Средние процентные ставки
- •4.1.1. Простые ставки
- •4.1.2. Сложные ставки
- •4.1.3. Усреднение ставок в однородных операциях
- •4.2. Эквивалентность процентных ставок
- •4.2.1 Эквивалентность простых процентных ставок
- •4.2.2. Эквивалентность простых и сложных ставок
- •4.2.3. Эквивалентность сложных ставок
- •4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей
- •4.3.1. Финансовая эквивалентность обязательств
- •4.3.2. Консолидирование (объединение) задолженности
- •4.3.3. Определение размера консолидированного платежа
- •4.3.4. Определение срока консолидированного платежа
- •4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта
- •5. Аннуитеты
- •5.1. Обыкновенные и полагающие аннуитеты
- •5.2. Определение платежей аннуитета и процентной ставки
- •6. Инвестиции
- •6.1. Чистый приведенный доход (чпд)
- •6.2. Срок окупаемости
- •6.3. Функция риска
- •7. Финансовая эквивалентность в страховании
- •Рекомендуемая литература
4.2.3. Эквивалентность сложных ставок
Рассмотрим только соотношение эквивалентности для ставок i,jиd. Имеем
, (4.20)
. (4.21)
Эквивалентность iиd:
, (4.22)
. (4.23)
Приведем еще ряд полезных соотношений, которые можно получить на основе приведенных выше формул с учетом того, что :
, (4.24)
, (4.25)
. (4.26)
В формулах (4.22)–(4.26) время (срок) не играет никакой роли.
Пример 4.6.При разработке условий контракта стороны договорились о том, что доходность кредита должна составлять 24 % годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно и поквартально?
;[10, с. 71–72].
4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей
4.3.1. Финансовая эквивалентность обязательств
На практике нередко возникают случаи, когда нужно заменить одно денежное обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, или объединить несколько платежей в один и т. д. Такие задачи решают на основе принципа финансовой эквивалентности обязательств. Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи «приведенными» к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения платежа (если дата относится к будущему). Если при изменении условий контракта указанный принцип не соблюдается, то одна из сторон контракта терпит ущерб, размер которого можно заранее определить.
Принцип финансовой эквивалентности лежит в основе значительного числа методов количественного финансового анализа. В наиболее простом проявлении этот принцип следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины PиS. СуммаPэквивалентна суммеSпри принятой процентной ставке и методе начисления процентов.
Две суммы S1иS2, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. ЗаменаS1иS2в этих условиях формально не изменяет отношения сторон договора [10, с. 73].
Пример 4.7.На принципе эквивалентности основывается сравнение разновременных платежей. Имеется два обязательства. Условия первого: выплатить 400 тыс. руб. через 4 месяца; условия второго: выплатить 450 тыс. руб. через 8 месяцев. Можно ли считать их равноценными?
Т. к. платежи краткосрочные, то при дисконтировании на начало срока применим простую ставку, равную, допустим, 20 %. Получим:
тыс. руб.
тыс. руб.
Т. о., сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке и в силу этого не могут адекватно заменять друг друга.
Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, его результат зависит от ее величины. Однако, что практически весьма важно, эта зависимость не является столь жесткой, как это может показаться на первый взгляд. Допустим, сравниваются 2 платежа S1иS2со срокамиn1иn2, причем,S1<S2иn1<n2. Соотношение их современных стоимостейP1иP2зависит от размера процентной ставкиi(см. рис. 4.2).
Рис. 4.2
С ростом iразмеры современных стоимостейР1иР2уменьшаются, причем приi=i0выполняетсяР1=Р2. Для любой ставкиi<i0выполняетсяР1<Р2. Т. о., результат сравнения зависит от размера ставки, равногоi0. Эта ставка называетсякритической(барьерной). Ее можно найти из равенства:
. (4.27)
Пример 4.8.Для данных примера 4.7 получим
, или 42,8 %.
Т. о., соотношение P2>P1справедливо при любом уровне процентной ставки, который меньше 42,8 %.
Если дисконтирование производится по сложной ставке, то критическую ставку найдем из равенства
.
Получим [10, с. 74–76]
. (4.28)