Министерство образования и науки РФ Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Электротехнический факультет Кафедра Информационные технологии и автоматизированные системы
Контрольная работа по дисциплине
«Системный анализ и управление»
Вариант 17
Выполнил: студент группы АСУ – 13бз
Чечкин Александр Викторович
Проверил: профессор Файзрахманов Рустам Абубакирович
г. Пермь – 2016
Практическое задание №1.
Определение движения динамической системы.
Задача 1.20. Поведение динамической системы описывается уравнением
а0 |
у(t) a1 y(t) a2 y(t) k cos t ; |
y(0) y(0) 0 , |
|
|
|
|
|
а0 3;a1 84;a2 540;k 11; 14 .
Определить y(t).
Решение:
3у(t) 84y(t) 540y(t) 11cos14t ; |
y(0) y(0) 0 . |
|
|
|
|
Запишем характеристическое уравнение
3r 2 84r 540 0
D 842 4 3 540 576 ;
r |
|
84 |
576 |
|
84 24 ; |
|
|
||||
1,2 |
|
2 3 |
6 |
||
|
|
||||
r1 10; r2 18 .
Запишем собственное движение системы:
yc (t) C1e 10t C2e 18t .
Вынужденное движение системы ищем в виде
yв (t) А1 cos14t В1 sin14t .
Определим А1 и В1. Из предыдущего уравнения имеем:
yв (t) 14А1 sin14t 14В1 cos14t ;
yв (t) 196А1 cos14t 196В1 sin14t .
Подставим в исходное уравнение:
3 196А1 cos14t 196В1 sin14t 84 14А1 sin14t 14В1 cos14t540 А1 cos14t В1 sin14t 11cos14t
или
588А1 cos14t 588В1 sin14t 1176А1 sin14t 1176В1 cos14t 540А1 cos14t540В1 sin14t 11cos14t;
48А1 cos14t 48В1 sin14t 1176А1 sin14t 1176В1 cos14t 11cos14t;
2
48А1 1176В1 cos14t 48В1 1176А1 sin14t 11cos14t;
48А1 |
1176В1 |
11; ; |
48А1 |
1176В1 11; |
|
|
11 |
|
|
||
А1 |
|
; |
|
||||||||
28860 |
|||||||||||
48В1 |
1176А1 |
0 |
|
В1 |
24,5А1 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
24,5А ; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
А |
11 |
|
; |
|
|
|
|
|
1 |
|
28860 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
539 |
|
|
|
|
|
|
|
В |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
1 |
57720 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
yв (t) |
11 |
cos14t |
539 |
sin14t |
|
|
|
|
28860 |
57720 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Определим y(t):
y(t) yc (t) yв (t)
или
|
|
y(t) C e 10t C |
e 18t |
|
11 |
cos14t |
539 |
sin14t . |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
28860 |
|
57720 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10C1e |
10t |
18C2 e |
18t |
|
154 |
sin14t |
3773 |
cos14t . |
|||||||||
|
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
28860 |
28860 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определим С1 |
и С2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(0) 0 C1 C2 |
|
11 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
28860 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3773 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
18C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y(0) 0 10C1 |
28860 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Используем правило Крамера:
11
10 18 18 10 8 ,
|
|
|
|
11 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
3773 |
|
|
3575 |
|
|
55 |
|
|
||||||
1 |
|
28860 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3773 |
|
18 |
28860 |
|
28860 |
|
28860 |
444 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
28860 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3773 |
|
|
|
11 |
|
|
|
3663 |
|
|
33 |
|
||||||
2 |
|
|
28860 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10 |
|
|
3773 |
28860 |
28860 |
28860 |
|
260 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
28860 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
С 1 |
|
55 |
|
|
55 |
; |
|||||
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
444 8 |
3552 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
С2 |
|
2 |
|
|
33 |
|
33 |
. |
|
||
|
260 8 |
2080 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, поведение динамической системы описывается соотношением:
y(t) |
55 |
e 10t |
33 |
e 18t |
11 |
cos14t |
539 |
sin14t |
|
3552 |
2080 |
28860 |
57720 |
||||||
|
|
|
|
|
Практическое занятие №2.
Определение частотных характеристик динамической системы.
Задача 2.21. Передаточная функция динамической системы имеет вид
W (s) e s . s(s 1)
Определить W(jω), АЧХ А(ω) и ФЧХ φ(ω).
Решение:
Определим амплитудно-фазочастотную характеристику (АФЧХ) системы
W(jω):
e j
W ( j ) W (s) s j j ( j 1)
Представим W(s) в виде:
W (s) W1 (s) W2 (s),
где
W (s) |
e s |
, W (s) |
1 |
|
. |
|
|
|
|||
1 |
s |
2 |
s 1 |
|
|
|
|
|
|||
Запишем W(jω) в виде: W ( j ) W1 ( j ) W2 ( j ),
4
W1 ( j ) |
e j |
j |
e j |
e |
j 2 e j |
|
e |
||||||||
|
|
j |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А( ) |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W2 ( j ) |
1 |
|
|
|
|
1* ( j 1) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
j 1 |
j 1 * ( j |
1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
W2 ( j ) Р( ) jQ( ),
|
|
|
1 |
|
j |
|
|
, W1 ( j ) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( j 1) |
|
1 |
|
|
( 2 1) |
( 2 1) |
|||
|
|
А( )e j ( )
j ( 2 1) ,
Так как А( ) 
Р2 ( ) Q2 ( ) ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|||
получим: А( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
( 2 1)2 |
( 2 1)2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
( 2 1) |
|||||||||||||||||||||
Следовательно, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А(ω)= А1(ω)* А2(ω); |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ(ω)= φ1(ω)+ φ2(ω), |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А ( ) |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А2 ( ) |
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
( 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 ( ) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Q( ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 ( ) аrctg |
arctg |
2 |
1 |
arctg ( ) arctg ( ) |
|||||||||||||||||||
Р( ) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Получим:
А( ) |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 1 |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
2 |
( arctg ( )) |
2 |
|||||||||
e j
Ответ: W ( j ) j ( j 1) ;
А( ) 1 ;
2 1
( ) arctg (T ). 2
arctg (T ).
5