7. Дипольный эквивалентный генератор сердца.

Для любой точки В, находящейся на произвольном расстоянии r от положительного униполя, по закону Ома в дифференциальной форме: d_у = - Jdr (1) где _у - потенциал, J- плотность тока  - удельное сопротивлени среды. Через сферу радиусом r и площадью поверхности 4r² протекает суммарный ток, равный току I, выходящему из униполя. Поэтому J = I/4r². Чтобы найти выражение для _у, проинтегрируем уравнение (1) в пределах расстояния от r до  и потенциала от _у до нуля (принимаем _у = 0 при r  ). В результате получаем: _у = l /4r. Потенциал поля отрицательного униполя равен -_у. В возбужденном миокарде всегда имеется много диполей. Чтобы найти величину потенциала создаваемого сердцем на поверхности тела, вначале найдем потенциал  электрического поля, создаваемого конечным диполем. Поместим конечный диполь отрицательным полюсом в начало координат 0. Потенциал  в точке регистрации В равен сумме потенциалов униполей:  = I /4r₁ - I/4r (2), где r₁ и r - расстояние между положительным полюсом А и точкой В и между отрицательным полюсом и точкой В. Обычно величина l диполя и, следовательно, r₁ не известны. Поэтому  удобнее представить в виде зависимости от r, дипольного момента и угла  между направлением регистрации потенциала и направлением вектора дипольного момента. По теореме косинусов из рисунка 1 найдем:

ВА

r₁ =  r² + l² - 2 r l cos  и тогда имеем:

 =  I /4r 1+H -  I /4r (3), где введено обозначение Н = (l² - 2 r l cos )/ r² Известно, что при условии r l, а значит -1 Н 1, функцию 1/1+H можно разложить на многочлен по степеням Н, представляющий собой бесконечную сумму убывающих членов В результате этого получаем:

r₁

r

А

l

А

0А

 = Ilcos  /4r² +Il²(3cos²  - 1)/8r³ + G (4), где G обозначает сумму членов, которые пропорциональны l³/r⁴, l⁴/r⁵ и т.д. Таким образом, потенциал конечного диполя описывается бесконечной суммой убывающих членов, зависящих от расстояния как l/rⁿ. Такое представление потенциала называется мультипольным разложением. В возбужденном миокарде всегда имеется много диполей (назовем их элементарными). Потенциал поля каждого диполя в неограниченной среде подчиняется уравнению 4. При изучении потенциалов на большом расстоянии от сердца, когда выполняется условие r l, первый член правой части уравнения 4 намного превосходит остальные. Поэтому в первом приближении вторым и последующими членами этого уравнения можно пренебречь. Это заведомо справедливо в случае точечных диполей, у которых l  0. Первый член в правой части уравнения 4 именуют дипольным потенциалом. Потенциал (₀) электрического поля сердца складывается из дипольных потенциалов элементарных диполей. Поскольку в каждый момент времени кардиоцикла возбуждается сравнительно небольшой участок миокарда, расстояния r от всех диполей до точки измерения потенциала примерно равны друг другу, и ₀ приближенно описывается выражением: ₀ =   D_j cos _j / 4r². Сумму проекций в этом выражении можно рассматривать как проекцию вектора дипольного момента (D₀) одного токового диполя, у которого D₀ =  D_j . Этот диполь называют эквивалентным диполем сердца. Таким образом, потенциал внешнего электрического поля сердца можно представить в виде дипольного потенциала одного эквивалентного диполя: ₀ =  D₀ cos  / 4r², где  - угол между D₀ и направлением регистрации потенциала D₀- модуль вектора D₀.