Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.doc
Скачиваний:
57
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
309.76 Кб
Скачать

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

(Ремизов А.Н., 1987, стр.26-31, Ливенцев Н.М., стр.319-323

Ремизов А.Н., 1999, стр.17-23)

  1. Испытание или опыт. Событие.

  2. События достоверные, невозможные, случайные.

  3. Несовместные события.

  4. Равновозможные события.

  5. Противоположные события.

  6. Полная группа событий.

  7. Относительная частота событий.

  8. Вероятность события.

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие массовым (статистическим) событиям.

Испытание или опыт - осуществление на практике какого-нибудь комплекса условий.

Событие - результат испытаний.

Достоверное событие - событие, которое обязательно произойдет в результате испытаний (П р и м е р: подброшенная вверх монета падает обратно).

Невозможное событие - событие которое неможет произойти в результате испытаний (П р и м е р: из корзины с белыми шарама невозможно вытянуть черный шар).

Случайное событие - событие, которое может произойти, но может и не произойти в результате испытаний.

Несовместными - называется случайные события А1, А2, ...Аn, если в результате каждого испытания никакие два из них не могут появиться вместе. (П р и м е р: игральная кость не может одновременно выпасть гранями 2 и 5).

Противоположными называются события иА, если они несовместны, и иА образуют полную группу событий. (П р и м е р: если куб выпадает гранью 1, все остальные события противоложны).

Равновозможными называются случайные события А1, А2, ...Аn, если ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Полную группу событий образуют случайные события А1, А2, ...Аn, если в результате каждого испытания появится только одно из них.

Относительная частота случайного события - это величина равная отношению числа благоприятных исходов m к общему числу исходов n (опытов).

Вероятностью случайного события называется предел отношения числа благоприятных исходов к общему числу испытаний, если число испытаний стремится к бесконечности

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность

Теорема сложения вероятностей: вероятность события Р (А или В) равна сумму вероятностей этих событий: Р(А) + Р(В). Теорема применяется для несовместных событий.

П р и м е р: в корзине находятся 5 белых, 6 черных, 4 красных шара. Какова вероятность, что из корзины будет извлечен белый или красный шар?

Р(А или В) = Р(А) + Р(В) = 5/15 + 4/15 = 9/15 = 0.6

Теорема умножения вероятностей

а) для независимых событий;

Вероятность наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Р(А и В) = Р(А)  Р(В).

П р и м е р: в первой корзине находятся 5 красных и 10 белых шаров, во второй - 10 красных и 20 белых шаров. Из каждой корзины вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара белого цвета?

Р(А и В) = Р(А)  Р(В) = 10/15  10/30 = 0.22

б) для зависимых событий. Вероятность двух (и более) зависимых событий Р(А и В) и равна произведению вероятности первого события Р(А) на условную вероятность второго Р(В/А):

Р(А и В) = Р(А)  Р(В/А).

Эта теорема справедлива и для большего числа зависимых событий.

П р и м е р: в корзине находятся 5 белых, 6 черных, 4 красных шара. Какова вероятность, что из корзины будут извлечены 2 черных шара?

Р(А и В) = Р(А)  Р(В/А) = 6/15  5/14 = 0.14

Условная вероятность Р(В/А) - это вероятность появления события В при условии, что событие А произошло.

ТЕОРЕМА О ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.

Вероятность появления события Р(А), равна сумме произведений вероятности каждой гипотезы Р(Hi) на вероятность события при этой гипотезе Р(А/Hi):

Формула полной вероятности

Р(А) - вероятность события;

Р(Hi) - вероятность гипотез;

Р(А/Hi) - вероятность события при соответствующей гипотезе.

П р и м е р: имеются три одинаковых корзины. В первой корзине - 2 белых и 1 черный шар, во второй - 3 белых и 1 черный шар; в третьей - 2 белых и 2 черных шара. Какова вероятность из наугад выбранной корзины извлечь белый шар.

Р е ш е н и е: рассмотрим 3 гипотезы - Н1 - выбрали первую корзину; Н2 - выбрали вторую корзину; Н3 - выбрали третью корзину. Если корзины одинаковы, то Р(H1) =Р(H2) =Р(H3) =1/3.

Условные вероятности события А при этих гипотезах:

Р(А/H1) = 2/3; Р(А/H2)= 3/4 ; Р(А/H3)= 1/2.

Вероятность события А рассчитаем по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р (Н1)Р(А/Н1)+Р (Н2)Р (А/Н2)+Р(Н3)Р (А/Н3= 1/3  2/3 +1/3 3/4 + 1/3  1/2 = 0,639.

Вероятностные алгоритмы в диагностике. Теорема байеса.

(Ливенцев Н.М., стр. 308)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.

Задача диагностики заключается в том, чтобы на основании симптомокомплекса, установленного у больного, и данных диагностической таблицы определить вероятности каждой из имеющихся в таблице болезней. Это можно сделать на основании теоремы об умножении вероятности с использованием формулы Байеса:

Р(Hi/А) - вероятность гипотезы при данном симптомокомплексе;

Р(Hi) - вероятность гипотезы ;

Р(А/Hi) - вероятность симптомокомплекса при данном заболевании.

Диагностическая таблица (упрощенный вариант).

Р (S1/Hi )

Р (S2/Hi )

Р (S3/Hi )

Р(H1) = 0.4

0.1

0.4

0.3

Р(H2) = 0.5

0.2

0.1

0.9

Р(H3) = 0.1

0.4

0.9

0.7

Р(S1/Hi ) - вероятность первого симптома при разных заболеваниях;

Р(S2/Hi ) - вероятность второго симптома при разных заболеваниях;

Р(S3/Hi ) - вероятность третьего симптома при разных заболеваниях.

Если в наличии все три симптома (симптомокомплекс), то:

Р(А/H1)=Р(S1/H1 )Р(S2/H1 )Р (S3/H1 )= 0.10.4 0.3 = 0.012

Р(А/H2)=Р(S1/H2 )Р(S2/H2 )Р(S3/H2 )= 0.20.10.9 = 0.018

Р(А/H3)=Р(S1/H3 )Р(S2/H3 )Р(S3/H3 )= 0.40.90.7 = 0.252

Вероятность первого заболевания при данном симптомокомплексе: