Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2010_03_КР ТеорМех

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
12.03.2016
Размер:
714.83 Кб
Скачать

 

m

l

é

æ

π

 

2π

t3

x = u0t +

 

2

 

êsinç

 

+

 

m1

 

 

3

3

 

+ m2 ë

è

 

 

ö

- sin

π ù

(6)

÷

3

ú .

ø

 

û

 

Полагая здесь t=1 с, найдем искомое перемещение х1.

Ответ: х1=0,33 м.

б) Определение ускорения а1.

Проделав те же рассуждения и выкладки, что и в предыдущем примере, получим уравнение (1) и формулу (2). Для определения а1 продифференцируем дважды по времени обе части равенства (2). Получим

 

 

 

 

&

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

2

æ

π

 

 

2π

 

3

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosç

 

+

 

 

 

 

t

 

÷ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

MxC = ( m1 + m2 )x - 2m2lπt

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

&&

 

 

 

 

&&

 

 

æ π

 

2π

 

 

3

ö

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

æπ

 

2π

 

3

ö

 

+ m2

- 4m2lπt cosç

 

 

+

 

t

 

÷ + 4m2lπ

 

t

 

sinç

 

+

 

t

 

÷,

MxC = ( m1

)x

3

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è 3

 

 

 

ø

где x = a - ускорение тележки. Но согласно уравнению (1)

 

 

Mx&&C = 0; в результа-

&&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

те находим следующую зависимость а от времени:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

l

 

é

 

æ π

 

2π

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

æ

π

 

 

 

2π

öù

 

 

 

 

 

a =

 

2

 

 

ê

4πt cosç

+

 

 

t3 ÷

- 4π 2t4 sinç

 

 

+

 

 

 

 

 

t3 ÷

 

.

 

 

 

 

m

+ m

 

3

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

è 3

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

øú

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

Полагая здесь t=1с, определим искомое уравнение а1.

Ответ: а1=–2,51 м/с2. Знак минус указывает на то, что ускорение тележки направлено влево.

в) определение скорости u1. Чтобы определить u1, воспользуемся теоремой об изменении количества движении системы Q в проекции на ось х. Так как

все действующие на систему внешние силы вертикальны (рис. Д5, б), то

 

åFkx = 0 и теорема дает

dQx

= åFkxe = 0 , откуда Qx = C1 .

(7)

 

 

dt

 

Для рассматриваемой механической системы

 

=

 

Т +

 

D , где

 

Т

= m u ,

Q

Q

Q

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Q D = m2 vD - количества движения тележки и груза D соответственно (u – скорость тележки, vD - скорость груза по отношению к осям Оху). Тогда из равенства (7) следует, что

Q

Т + Q

D = C

1

или m u

x

+ m

v

Dx

= C

.

(8)

x

x

 

1

2

 

1

 

 

Для определения vDx рассмотрим движение груза D как сложное, считая

его движение по отношению к тележке относительным (это движение, совершаемое при вращении стержня AD вокруг оси А), а движение самой тележки – переносным. Тогда vD = vDпер + vDотн и

 

 

 

 

vDx = vDxпер + vDxотн .

 

(9)

Но

v

Dпер = u

и, следовательно, vDxпер = ux . Вектор

v

Dотн направлен перпенди-

 

 

 

отн

= lωAD = lϕ = 2lπt

2

.

 

кулярно стержню и численно vD

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

Изобразив

этот вектор на

 

рис. Д5,б с учетом знака φ, найдем, что

vотнDx = -vDотн cosϕ . Окончательно из равенства (9) получим

41

отн

cosϕ = ux -

2lπt

2

 

æπ

 

2π

 

3

ö

 

vDx = ux - vD

 

cosç

+

 

t

 

÷ .

(10)

 

3

 

 

 

 

 

 

è 3

 

 

 

ø

 

(В данной задаче величину vDx можно еще найти другим путем, определив

абсциссу xD груза D, Для которой, как

видно

из

рис.

 

Д.2,а,

получим

xD = x l sinϕ ; тогда vDx = x&D = x& lϕ& cosϕ , где x& = ux , а ϕ& = 2πt 2 .)

При найденном значении vDx равенство (8), если учесть, что ux = u , примет вид

m1u + m2u - m2 2lπt

2

æ

π

 

2π

 

3

ö

 

 

 

cosç

 

+

 

t

 

÷

= C1 .

(11)

 

3

3

 

 

 

è

 

 

 

ø

 

 

Постоянную интегрирования С1 определим по начальным условиям: при t=0 и u=0. Подстановка этих величин в уравнение (11) дает C1 = ( m1 + m2 )u0 и

тогда из (11) получим

( m1 + m2 )u - m2 2lπt

2

æ

π

 

2π

 

3

ö

 

 

 

 

cosç

 

+

 

t

 

÷

= ( m1

+ m2

)u0 .

 

3

3

 

 

 

è

 

 

 

ø

 

 

 

Отсюда находим следующую зависимость скорости u тележки от времени:

 

 

2lπm

2

æ

π

 

2π

 

ö

 

u = u0

+

 

 

t 2 cosç

 

+

 

t3

÷.

(12)

m1

+ m2

3

3

 

 

è

 

 

ø

 

Положив в уравнении (12) t=1с, определим искомую скорость u1.

Ответ: u1=– 0,76 м/с. Знак минус указывает, что скорость тележки направлена влево.

г) определение реакции N1. Для определения реакции N1 воспульзаемся теоремой о движении центра масс системы. Составим дифференциальное урав-

нение его движения в проекции на ось y (см. рис. Д2,а):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&&

=

e

 

 

 

&&

 

+ N

′′

P1 P2 .

 

 

 

 

(13)

 

MyC

 

åFky

или MyC = N

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда, полагая N ′ + N′′ = N , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N = M&y&C + P1 + P2 .

yС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(14)

Из формулы,

определяющей

 

ординату

 

центра масс системы

MyC = m1 yA + m2 yD , где

yA и yD

- соответственно ординаты центра масс А тележки и

груза D. В нашем случае yA = A0 O = const ,

 

yD = A0O l cosϕ . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ π

 

2π

 

3 ö

 

 

 

 

 

 

MyC = ( m1

+ m2 )A0O - m2l cosç

 

 

 

+

 

 

t

÷ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è 3

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

Продифференцировав обе части этого равенства два раза по времени, по-

лучим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ π

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

2m2lπt

2

 

 

 

3 ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

sinç

 

+

 

 

 

 

 

t

÷ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MyC

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è 3

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

&&

 

 

æ

π

 

2π

 

 

3

ö

 

 

 

2

 

4

 

 

æ π

 

2π

 

3

ö

= 4m2lπt sinç

 

+

 

 

t

 

÷ + 4m2lπ

 

 

t

 

 

cosç

 

+

 

 

t

 

÷ .

MyC

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

è

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è 3

 

 

 

 

ø

42

Подставив найденное выражение M&y&C в уравнение (8), получим зависимость N от t:

æ

π

 

2π

 

3

ö

 

2

 

4

æ

π

 

2π

 

3

N = 4m2lπt sinç

 

+

 

t

 

÷

+ 4m2lπ

 

t

 

cosç

 

+

 

t

 

3

3

 

 

 

3

3

 

è

 

 

 

ø

 

 

 

 

è

 

 

 

Полагая здесь t=1с, найдем искомую реакцию N1. Ответ: N1=68,9 Н.

ö

+ ( m1

+ m2

)g .

÷

ø

 

 

 

Задача Д3. Теорема об изменении кинетического момента системы.

Условие. Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или прямоугольная со сторонами R и 2R, где R = 1,2 м) массой m1=24 кг вращается с угловой скоростью ω0=10 с-1 вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс С платформы на расстоянии ОС=b (рис. Д3.0 – Д3.9, табл. Д3); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д3.0а (вид сверху).

В момент времени t0=0 по желобу платформы, начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой m2=8 кг по закону s=AD=F(t), где s выражено в метрах, t – в секундах. Одновременно на платформы, изображённые на рис. 0–4, начинает действовать пара сил с моментом М (задан в ньютонметрах; при M<0 его направление противоположно показанному на рисунках); для платформ, изображенных на рис. 5–9, М = 0.

Определить: для платформ, изображенных на рис. 0–4, зависимость ω=f(t), т. е. угловую скорость платформы, как функцию времени; для платформ, изображенных на рис, 5–9 – угловую скорость ω1 платформы в момент времени

t1=1 с.

Форма желоба на рис. 0–4 прямолинейная (желоб КE), на рис. 5, 6, 7 – окружность радиуса R (обод платформы), на рис 8, 9 – окружность радиуса r = 0,5 R. На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s>0 (когда s<0, груз находится по другую сторону от точки А); на рис. 5–9 расстояние s=АО отсчитывается по дуге окружности. Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии ОС=b от центра С.

Указания. Задача Д3 – на применение теоремы об изменении кинетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент Кz системы относительно оси z определяется как сумма моментов платформы и груза. При этом следует учесть, что абсолютная скорость v груза складывается геометрически из относительной vот и переносной vпер скоростей, т.е. v = vот + vпер . Поэтому и количество движения

этого груза mv = mvот + mvпер . Тогда можно воспользоваться теоремой Варинь-

она (статика), согласно которой mz ( mv ) = mz ( mvот ) + mz ( mvпер ) ; эти моменты вычисляются так же, как моменты сил. Подробнее ход решения для случая, когда надо ω=f(t), разъяснен в примере Д3.

В случае, когда М = 0 и надо определить ω1, воспользоваться законом сохранения кинетического момента (показав, что он здесь имеет место). При этом

43

следует сначала найти и показать на чертеже положения D0 и D1 груза в моменты времени t0=0 и t1=1c (найти, чему равен угол ACD при t0=0 и t1=1c), а также определить, чему равна и как направлена скорость vот в эти моменты времени. После этого, так же как в примере Д3, надо вычислить Кz, но не для произвольного момента времени, а сначала для момента t0=0 (когда груз в положении D0 и ω=ω0), а затем для момента t1=1c (когда груз в положении Dt и ω=ω1) и использовать закон сохранения Кz.

Момент инерции прямоугольной пластины с массой m и сторонами а1 и а2 относительно оси Сz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр

масс С, равен 12m ( a12 + a22 ) .

При решении задачи полезно изобразить на вспомогательном чертеже вид на платформу сверху (с конца оси z), как это сделано в качестве примеров

для рис. Д3.0 и Д3.1

(рис. Д3.0а и Д3.1а).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунки к заданию Д3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωo

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

R

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

C

300

 

 

 

 

 

 

 

ωo

 

300

 

 

K

 

 

 

R/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

O

D

A

 

 

 

 

 

 

 

R/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. Д 3.0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. Д 3.0а

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

R/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

O

 

A

D

 

 

 

R/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

A

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. Д 3.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. Д 3.1а

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωo

 

 

 

 

R/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

A

 

 

 

 

D

Е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

M

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

A K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

C

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. Д 3.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. Д 3.3

44

z

 

 

z

 

 

 

ωo

 

 

ωo

 

 

 

 

Е

 

D

 

 

 

D

 

O

M

 

 

 

A

O

C

A

 

C

 

 

K

 

 

 

 

Рис. Д 3.4

 

 

 

Рис. Д 3.5

 

z

 

 

 

z

 

ωo

 

 

 

ωo

 

A

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

O

 

 

 

 

C

 

O

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

Рис. Д 3.6

 

 

 

Рис. Д 3.7

 

 

z

 

z

 

 

 

 

ωo

 

ωo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

A

r

O

 

A

r

D

C

 

 

O

C

 

 

 

 

 

 

Рис. Д 3.8

 

 

 

Рис. Д 3.9

Таблица Д3

Номер усло-

вия

 

Рис. 0–4

 

 

Рис. 5–7

 

 

Рис. 8,9

b

s=f(t)

M

 

 

 

s

= f (t )

 

 

s

= f (t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

R

0,6cos(2t)

8

 

 

 

πR

(t2-1)

 

πR

 

(4t2-1)

 

 

 

6

 

3

1

 

R/2

0,8t2

2+4t

 

πR

 

(4t2-1)

 

πR

 

(2-5t2)

 

3

6

2

 

R

0,4(1-t3)

8t2-2

 

 

πR

(4-t2)

 

πR

 

(7t2-4)

 

 

6

6

 

 

 

-

 

 

πR

2

 

πR

2

3

 

R/2

0,8cos(2t)

-12

 

3

 

 

(t +2)

 

4

 

(1+t )

4

 

R

0,4t3

-6t2

 

πR

(5t2-2)

 

 

πR

(4-t2)

 

6

6

5

 

R/2

-0,6t2

12t

 

 

πR

(1-t2)

 

πR

(4-7t2)

 

 

3

6

45

6

R

0,4cos(3t)

10

 

 

πR

 

(t2+2)

 

πR

(5t2-1)

 

6

 

3

7

R/2

0,6(2-t2)

6t

 

πR

(1-4t2)

 

πR

(3t2-1)

6

4

 

 

-

 

 

πR

2

 

πR

2

8

R/2

0,5cos(3t)

12

 

6

 

(7t -4)

 

6

 

(2+t )

9

R

0,8(t3+1)

-9t2

 

 

2πR

(t2-1)

 

 

πR

(1-t2)

 

3

3

Пример Д3. Горизонтальная трубка АВ массой m1 (рис. Д.6а) с помощью стержня ОС жестко скреплена с вертикальным валом ЕН, который вращается вокруг оси z с угловой скоростью ω0 (на рис. Д3.б показан вид сверху). В середине С трубки находится шар D массой m2. В момент времени t0=0 на вал начинает действовать вращающий момент М (момент относительно оси z) и одно-

временно шар начинает двигаться вдоль трубки по закону CD=s=f(t).

Дано: m1=15 кг; m2= 10 кг, АС= СВ=СО =l=1 м, ω0=2c-1, s=0,4t2 (s – в мет-

рах; t – в секундах), М=kt где k =6 Н∙м/с.

Определить: ω= f(t) —закон изменения угловой скорости трубки, пренебрегая массой стержня ОС и вала.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из трубки АВ и шара D. Для определения ω применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dKz

= åmz (

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fke ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

H

 

A

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RH

 

 

 

 

 

 

ωo

 

 

 

y

 

M

ωo

 

C y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

O

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

S

 

vпер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

B

 

 

 

 

RE

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vот

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. Д3.а

 

 

Рис. Д3.б

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Р1, Р2, реакции RЕ, RН и вращающий момент М. Так как силы Р1 и Р2, параллельны оси z, а реакции RЕ и RН эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительны направление ω0 (т.е. против хода часовой, стрелки), получим åmz( Fke ) = −M = −kt и уравнение (1) примет та-

кой вид:

dKz

= −kt .

(2)

dt

 

 

46

Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, получим

 

 

 

Kz = -

k

t2

+C1 .

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Для рассматриваемой механической системы

 

 

 

 

 

 

Kz

= Kzтр + KzD ,

 

 

 

(4)

где Kzтр и KzD кинетические

моменты

трубки и шара D соответственно.

Так как трубка вращается вокруг оси z, то Kzтр = Jzω . Значение Jz найдем

по теореме Гюйгенса: J

z

= J ' + m ( OC )2 = J ' + m l2

( J

Cz

' – момент инерции отно-

 

 

Cz

1

 

 

Cz

1

 

 

сительно оси z, параллельной оси z и проходящей через центр масс С трубки). Рассматривая трубку как однородный стержень длиной АВ=2l, получим

J ' =

m1( 2l )2

=

m1l2

 

и Jz =

m1l2

+ m1l2

=

4

m1l2 .

 

 

 

 

Cz

12

3

 

3

 

3

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

Kzтр =

 

m1l2ω .

 

(5)

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения KzD обратимся к рис. Д3.б и рассмотрим движение шара D как сложное, считая его движение по трубке относительным, а вращение самой трубки вокруг оси z – переносным движением. Тогда абсолютная скорость

шара

v

=

v

от

+ v

пер

. Поскольку шар

D движется по закону s=CD=0,4t2 , то

vот

= s = 0,8t

 

 

 

 

на рис. Д3.б с учетом знака s (при s<0 на-

; изображаем вектор vот

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

правление vот было бы противоположным). Затем, учитывая направление ω,

изображаем вектор

v

пер (

v

пер

OD); численно

v

пер = ω ∙OD. Тогда, по теореме Ва-

риньона,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K D = m

( m

v

) = m ( m

v

)+ m ( m

v

) =

 

 

 

z

z

 

2

 

 

z

2 от

 

 

z

2 пер

 

 

 

= -m

v

 

 

×OC + m

v

×OD = -m ×0,8tl + m ω(OD )2 .

(6)

 

 

 

2 от

2

пер

 

 

 

2

2

 

Но из рис. Д3.б видно, что OD2

= l2 + s2

= l2 +0,16t4 . Подставляя эту величину

в равенство (6), а затем значения Kzтр и KzD из (6) и (5) в равенство (4), получим с учетом данных задачи

Kz =

4

m1l2ω + m2ω( l2 + 0,16t4 ) - m2

×0,8tl

= ( 30

+ 1,6t4 )ω - 8t .

(7)

3

Тогда уравнение (3), где k=6, примет вид

 

 

 

 

 

 

( 30 + 1,6t4 )ω - 8t = -3t2 + C1 .

 

(8)

Постоянную интегрирования определяем по начальным условиям: при t=0, ω0=0. Получим C1=30, ω0 = 60. При этом значении С1 из уравнения (8) находим искомую зависимость ω от t.

Ответ: ω = (60 + 8t - 3t2 ) /( 30 + 1,6t4 )c1 (где t в секундах).

47

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. Учебник для втузов, М.: Высш. шк., 2000-415с. (и другие годы издания)

2.Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. Учебник для вузов, М., Ч.1., 2 , 1998.-343с. (и другие годы издания)

3.Шацкий В.П., Гулевский В.А. Краткий курс теоретической механики. ВГАУ, 2010 – 179с.

4.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 1,2 – М., 1975г (и более поздние годы издания)

5.Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособ. Для техн. вузов. – 5-е изд., исп.–М.: Интеграл-Пресс, 2000.–384 с.

48

Подписано в печать 20.04.2010 г. Формат 60х841/16 Бумага кн.-журн. Усл. п.л. 3,0. Гарнитура Таймс.

Тираж 110 экз. Заказ №4385

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Воронежский государственный аграрный университет имени К.Д. Глинки» Типография ФГОУ ВПО ВГАУ 394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1 Информационная поддержка: http://tipograf.vsau.ru

Отпечатано с оригинал-макета заказчика. Ответственность за содержание предоставленного оригинал-макета типография не несет.

Требования и пожелания излагайте авторам данного издания.

49

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]