2010_03_КР ТеорМех

3.Скорости точек В и С (средняя точка звена АВ);

4.Ускорения точек А, В и С;

5.Угловое ускорение звена АВ.

Мгновенный центр скоростей и векторы скоростей и ускорений точек изобразить на схеме механизма.

Решение. В кривошипно-ползунном механизме кривошип ОА совершает вращательное движение, шатун АВ – плоское и ползун В – поступательное. Вычисляем модуль скорости точки А при заданном положении механизма

υA = ωOA ×OA = 2 × 20 = 40 смс .

Вектор скорости точки А перпендикулярен кривошипу ОА. Скорость ползуна В направлена по горизонтали. Для ее определения воспользуемся мгновенным центром скоростей. Мгновенный центр скоростей РАВ шатуна АВ находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к их скоростям (рис. К1.2).

Известно, что

υA = ωAB × APAB , υB = ωAB × BPAB , υC = ωAB ×CPAB

где ωAB – угловая скорость звена АВ.

Расстояния АРАВ, ВРАВ, СРАВ определим из треугольников АВРАВ, АСРАВ

АВ, т.е. по часовой стрелке (рис. К1.2).

Мгновенный центр скоростей и векторы скоростей точек указаны на рисунке К1.2.

В

vB

Рис. К1.2

22

Рис. К1.3

построения. Из точки В последовательно в произвольном масштабе отложим

r r

векторы ускорений аА и аВАn , направления которых известны. Затем, через конец

r

вектора аВАn проведем перпендикуляр к звену АВ (именно вдоль него направлен вектор ускорения аrτВА ) и вдоль линии движения точки В проведем прямую. Там где прямая пересечется с перпендикуляром находятся концы двух векторов

Прежде чем переходить к определению ускорения точки С, найдем угловое ускорение звена АВ. Для этого спроецируем уравнение 3.1. на ось у. Полу-

Модуль ускорения точки С найдем по формуле

аС = аСх2 + аСу2 = (-69,6)2 + (69,8)2 = 98,6см/ с2 .

Направление ускорения точки С показано на рисунке К1.5.

24

Задача К2. Сложное движение точки.

Плоская фигура D вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О1 перпендикулярно плоскости рисунка. Вращение фигуры задано уравнением: ϕпер = ϕпер (t) (ϕ – в радианах, t – в секундах), таблица К2.

По фигуре D вдоль прямой ОА или по окружности радиуса R, (рис.0–9) движется точка М. Закон ее относительного движения s = s(t) (s – в санти-

метрах, t – в секундах) задан в таблице 6. Положительное направление отсчета расстояния s = OM от точки О к точке А (на всех рисунках точка М показана в положении, при котором s = OM положительно).

Определить абсолютную скорость и ускорение точки М в момент времени t1 = 1 c и изобразить полученные векторы скорости и ускорения на рисунке.

Указания. Задача К–4 на сложное движение точки. При ее решении движение точки по фигуре D считать относительным, а вращательное движение самой фигуры – переносным и воспользоваться теоремами о сложении скоростей и сложении ускорений. Прежде чем производить расчеты, следует изобразить точку М в том положении, в котором нужно определить ее абсолютную скорость (или ускорение), а не в произвольном положении, показанном на рисунке к задаче.

25

т.е. точка в рассматриваемый момент времени находится на биссектрисе ÐOO2M в положении М1.

Относительная скорость точки М

причем вектор vотн направлен по касательной к траектории относительного движения, т.е. перпендикулярно O2M вправо (vотн > 0 ) (рис. К4.2).

Относительное ускорение точки М

aотн = aотнτ + aотнn .

Касательное относительное ускорение

и aотнτ направлено так же как и относительная скорость (рис.К3.3). Так как касательное относительное ускорение не зависит от времени и vотн > 0 и

aотнτ > 0, то относительное движение точки равноускоренное. Нормальное относительное ускорение

где ρ = R – радиус кривизны относительной траектории точки (в случае прямолинейного относительного движения ρ = ∞ и aотнn = 0).

и aотнn направлено к центру кривизны относительной траектории от М к О2

(рис.К1.3).

Для определения переносного движения точки М мысленно остановим в рассматриваемый момент времени точку на относительной траектории в положении М1 (исключим относительное движение). Тогда вращаясь вместе с телом D точка М1 описывает окружность радиуса М1О1 с центром в точке О1. эта окружность переносная траектория точки в момент времени t1 = 5 c . Найдем ра-

диус этой окружности

M1O1 = O1O2 -O2M1 = R 2 - R = R ×0,41см .

28

Переносную скорость и переносное ускорение точки найдем как скорость и ускорение точки М1, принадлежащей вращающемуся телу D:

vпер = wпер × M1O1 ;

aпер = aперτ + aперn ,

Найдем угловую скорость и угловое ускорение переносного движения:

Поскольку ωпер > 0, εпер < 0 и εпер не зависит от времени, то переносное вра-

Вектор vпер направлен перпендикулярно М1О1 в сторону переносного враще-

ния (рис. К4.2).

Касательное переносное ускорение

Вектор aперτ направлен противоположно vпер (рис.К4.2). Нормальное переносное ускорение

Вектор aперn направлен от точки М1 к О1 (рис.К4.3).

Для определения абсолютной скорости применим теорему о сложении скоростей в сложном движении

vабс =vотн +vпер .

В данной задаче векторы vотн и vпер направлены в одну сторону вдоль одной прямой (рис. К4.2), следовательно, модуль vабс :

29

Ускорение Кориолиса

aкор = 2×[wпер ,vотн ].

Определим модуль ускорения Кориолиса

aкор = 2 wпер × vотн ×sin (wпер ,vотн ).

Переносное вращение происходит вокруг оси, перпендикулярной плоскости рамки D, поэтому угол между переносной угловой скоростью wпер и относи-

тельной линейной vотн равен 90°, тогда

Абсолютное ускорение найдем методом проекций, для чего ось Х напра-

вим по М1О1.

В развернутом виде (1) можно записать

Запишем выражение (2) в проекциях на оси М1ХУ

30