2010_03_КР ТеорМех

Задача Д1. Динамика точки.

Условие. Тело S, рассматриваемое как материальная точка массы m, движется по шероховатой поверхности из состояния покоя от точки А к точке В, в которой отрывается от поверхности и продолжает движение до точки К. На участке АВ, коэффициент трения на котором равен f, на тело действует постоянная сила Q . Используя уравнение движения тела на участках АВ, ВК, основные теоремы

динамики точки определить время движения от начального к конечному положению, т.е. от точки А к точке К, скорость тела в точке В, расстояние DК.

Таблица данных к заданию Д1

31

Рисунки к задаче Д1

D

32

Дано: АВ=5 м, ВD=7 м, Q =100 Н, f =0,1, α=60о, β=30о, φ=45о, m=10 кг.

Определить: VB , tAB , tBK , DK.

Решение. I. Рассмотрим движение тела на участке АВ. Выберем систему координат х1Ау1, как показано на рис. Д1. Изобразим в произвольный момент времени тело S и действующие на него силы. Запишем основное уравнение динамики для движущегося тела S, считая его материальной точкой.

где Fтр = fN .

33

Таким образом, мы определили ускорение груза на участке АВ. Интегрируя последнее дифференциальное уравнение дважды, получаем:

х& = 14,5t + C1 ,

х& = 14,5 t 2 + C1t + C2 , 2

где С1 и С2 – постоянные интегрирования. Для их определения введем начальные условия: при t=0, x = 0 , x& = 0 . Подставляя эти начальные условия в два последних уравнения, получаем С1 =0; С2=0.

34

Переписываем два последних уравнения с учетом С1 и С2 и получаем:

Сравнивая полученное значение скорости с (9) убеждаемся в том, что она найдена верно.

т.к. условию задачи скорость VA = 0 , то теорема примет вид mVB = åFkx ×tAB ,

Сравнивая полученное значение времени с (8) убеждаемся в том, что она найдена верно.

35

III. Рассмотрим движение тела на участке ВК. Систему координат (xВy) расположим так, как показано на рисунке. Запишем уравнения движения тела S на участке ВК.

Разделим обе части двух уравнений на массу, получим

ì&x& = 0

íî&y& = g.

Дважды интегрируя полученную систему уравнений, имеем

Для определения констант С1, С2, С3 и С4 введем начальные условия на участке ВК: при t = 0, x = 0 , у=0, x& = VB cosα , y& = VB sinα . Подставляя их в системы

уравнений (11), получим:

C1 = VB cosα , C2 = VB sinα , C3 = 0 , C4 = 0 .

С учетом этих значений, законы движения точки будут иметь вид:

ìx = tVB cosα

ï

íïy = gt2 (12)

î 2

Ответ: VB = 12м / с , tAB = 0,8с , tBK = 0,4с , DK=2,8м.

36

Задача Д2. Теорема о движении центра масс системы. Теорема об изменении кинетической энергии системы.

Условие. Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m1 =18кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m2=6 кг (рис. Д2.0–Д2.9, табл. Д2). В момент времени t0=0, когда скорость плиты u0=2 м/с, груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты.

На рис. 0–3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза расстояние s=AD изменяется по закону s=f(t), а на рис. 4–9 желоб – окружность радиуса R=0,8 м и при движении груза угол φ= Ð АС1D изменяется по закону φ=f2(t). В табл. Д5 эти зависимости даны отдельно для рис. 0 и 1, для рис. 2 и 3 и т. д., где s выражено в метрах, φ – в радианах, t – в секундах.

На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s>0 (или φ>0); при s<0 (или φ<0) груз находится по другую сторону от точки А.

Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить величину, указанную в таблице в столбце «Найти», где обозначено: х1 – перемещение плиты за время от t0=0 до t1=1с; u1, a1, N1 – значения в момент времени t1=1с скорости плиты, ускорения плиты и полной нормальной реакции направляющих соответственно.

Указания. Задача Д2 на применение теорем о движении центра, масс и об изменении количества движения системы. Первой теоремой удобнее пользоваться, когда надо найти перемещение или закон движения одного из тел системы, движущегося поступательно, а второй — когда надо найти скорость такого тела. При определении ускорения тела или реакции связи тоже удобнее воспользоваться первой теоремой.

Рисунки к заданию Д2

37

38

так как åFkxe = 0, поскольку все действующие на систему внешние силы вертикальны.

Определим значение MxC . Из рис. Д2,а видно, что в произвольный момент

времени абсциссы хА – центра масс тележки и хD – груза равны соответственно хА=х, хD=x–lsinφ. Так как по формуле, определяющей координату хС центра масс системы, MxC = m1xA + m2 xD , то

Где С1 и С2 – постоянные интегрирования. Подставив во второе из этих уравнений значение MxC из равенства (2), получим

Для определения С1 и С2 понадобится еще одно уравнение, которое получим, продифференцировав обе части равенства (4) по времени: