2.6. Нормальное распределение

Определение: Непрерывная случайная величина имеетнормальное распределение (распределение Гаусса) с параметрами и, если ее плотность имеет вид:

. (16)

График плотности нормального распределения, изображенный на рис. 4, называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

p(x)

x

a

Рис. 4.

Из графика видно, что из интервалов значений одинаковой длины более близкие к имеют большую вероятность, попадание в них происходит чаще. При удалении отвероятность попадания в интервал уменьшается.

Такое поведение вероятностей, а значит, и относительных частот, характерно для многих случайных величин. Например, если — средний рост, а— рост произвольно выбранного человека, то люди, чей рост близок к среднему, встречаются часто, а «великаны» и «карлики» — крайне редко.

Замечание. При плотность нормального распределения является дифференциальной функцией Лапласа [13]:

.

Функция распределения в этом случае задается выражением:

,

где — интегральная функция Лапласа. Итак,

.

Зависимость нормальной кривой от параметра (прии постоянном) изображена на рис. 5. Вертикальная прямаяявляется осью симметрии нормальной кривой.

p(x)

x

a₁

a₂

Рис. 5.

Зависимость нормальной кривой от параметра (при постоянном) изображена на рис. 6. При увеличениикривая становится более пологой, так что далекие отзначения случайной величиныприобретают большую вероятность, реализуются чаще; разброс значений вокругпри этом увеличивается.

Рис. 6.

Эти свойства нормальной кривой проясняет

Теорема (о вероятностном смысле параметров и). Для случайной величины , имеющей нормальное распределение с параметрамии:.

Доказательство. При вычислении интегралов, выражающих и, воспользуемся заменой переменной. В соответствии с формулой (13):

.

В полученном выражении первое слагаемое является сходящимся интегралом от нечетной функции по симметричному промежутку и поэтому равно нулю. Второе слагаемое представляет собою умноженный на интеграл Пуассона, про который известно, что он равен :

(в этом смысл множителя в формуле для плотности: — он обеспечивает выполнение равенства (10) ). В результате получаем:.

Аналогичными вычислениями устанавливается и равенство . ▄

Получим выражение для функции распределения произвольного нормального закона с параметрами и:

(проводим замену переменной)

.

Нормальное распределение играет исключительно важную роль при математическом описании многих процессов, имеющих вероятностную, случайную (говорят также: — стохастическую — природу).

2.7. Показательное распределение

Определение: Непрерывная случайная величина имеетпоказательное (экспоненциальное) распределение с параметром , если ее плотность имеет вид:

. (17)

График плотности показательного распределения изображен на рис.7.

Рис. 7.

Теорема. Если непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром , то для ее математического ожидания и дисперсии справедливы формулы:

.

Доказательство. Заметим, что по правилу Лопиталя

.

Интегрируя по частям, получим:

.

Далее,

.

Согласно формуле (14):

.

Аналогично предыдущему, интегрируя по частям дважды, получим: , так что. ▄

Аналогичными вычислениями получается выражение для функции распределения показательного распределения: