2.2. Особенность непрерывной случайной величины

Теорема. Для непрерывной случайной величины вероятность принять любое наперед заданное значение равна нулю:

.

(Иными словами, «вероятность попадания в точку» равна нулю).

Замечание. Таким образом, непрерывные случайные величины дают примеры случайных событий, а именно , которые, не будучи невозможными, имеют, тем не менее, вероятность, равную нулю.

Доказательство. Для любого событиевлечет за собой событие, поэтому в силу непрерывности функции распределения:

. Отсюда . ▄

Следствие. Для непрерывной случайной величины вероятность попадания в промежуток не зависит от вида промежутка:

(все эти вероятности равны ).

Доказательство. Докажем, например, первое равенство. Имеем:

— сумма попарно несовместных событий. Отсюда

. ▄

2.3. Вероятностный смысл плотности распределения

Если случайная величина непрерывна, то для ее плотностив точках дифференцируемости имеем:

.

Поэтому при малых имеет место приближенное равенство:

.

Итак, при малых вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из отрезка , приближенно равна произведению плотности в точкена длину отрезка:

.

2.4. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

I. Наводящее рассуждение.

Для дискретной случайной величины с законом распределения математическое ожидание вычисляется, согласно п. 1.5, по формуле:

.

Если отдельные значения можно окружить непересекающимися малыми промежутками с длинами, то вероятностиэтих значений являются одновременно вероятностями попадания в соответствующие отрезки:

,

и формула для математического ожидания принимает вид:

. (12)

Для непрерывной случайной величины имеем

,

так что сумма, аналогичная (12), имеет вид

,

и является интегральной суммой для несобственного интеграла .

II. Определение математического ожидания.

Определение: Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью называется несобственный интеграл:

, (13)

причем предполагается, что этот интеграл сходится абсолютно, то есть, сходится интеграл .

Если абсолютной сходимости нет, то для такой непрерывной случайной величины математическое ожидание не определено.

III. Математическое ожидание функции случайного аргумента.

Пусть — непрерывная случайная величина с плотностью, и— функция числового аргумента, которая непрерывна на. Тогдапринимает вместе со случайным аргументомслучайные значения и является случайной величиной.

Можно доказать, что случайная величина также является непрерывной, и для ее математического ожидания справедлива формула:

. (14)

IV. Свойства математического ожидания непрерывной случайной величины.

Эти свойства аналогичны свойствам математического ожидания в случае дискретной случайной величины (п. 1.6); перечислим их заново:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .

2. Пусть случайные величины и имеют математические ожиданияи. Тогда

.

3. Пусть случайные величины и независимы и имеют математические ожидания и. Тогда

.

2.5. Дисперсия непрерывной случайной величины

Напомним (п. 1.7), что дисперсия служит мерой рассеивания значений случайной величины вокруг математического ожидания и определяется как математическое ожидание квадрата отклонения:

.

Квадрат отклонения является частным случаем функции случайного аргумента, а именно, когда

.

Поэтому, в соответствии с общей формулой (14), для дисперсии непрерывной случайной величины с плотностьюполучаем формулу:

(15)

Если несобственный интеграл в формуле (15) расходится, то считают, что дисперсия не существует.

Свойства дисперсии непрерывной случайной величины также аналогичны свойствам дисперсии в дискретном случае (п. 1.6); перечислим их заново:

1. .

2. .

3. .

4. Если случайные величины инезависимы, то

.

Для непрерывной случайной величины сохраняется определение среднего квадратического отклонения:

.