Глава 4. ДвумеРные случайные Величины

4.1. Функция распределения двумерной случайной величины

Определение. Двумерной случайной величиной (случайным вектором, системой двух случайных величин) называется упорядоченная пара случайных величин и:. При этом случайные величиныиназываютсясоставляющими .

Аналогично определяется -мерный случайный вектор:

.

Геометрически двумерная случайная величина изображается случайной точкой плоскости со случайными координатамии(рис. 9)

Рис. 9.

Определение. Функцией распределения двумерной случайной величины называется функция двух переменных , задаваемая формулой:

.

выражает вероятность попадания случайной точки в областьплоскостиOxy (рис. 10).

Свойства функции распределения

1. Для любых и выполняется неравенство:

.

Это следует из общих свойств вероятности случайного события ([13], п. 3.2).

2. Функция является неубывающей по каждому аргументу:

при :;

при :.

Рис. 10.

Доказательство. Пусть, например, . Тогда

— сумма несовместных событий. Следовательно

, (31)

откуда , так как последнее слагаемое в (31), будучи вероятностью случайного события, неотрицательно. ▄

3. Поведение функции распределения на бесконечности:

;

;

;

.

(без доказательства).

4. Если – функция распределения двумерной случайной величины, а— функции распределения составляющихи, то

.

(без доказательства).

Определение. Функции распределения исоставляющих двумерной случайной величины называютсячастными распределениями.

5. Вероятность попадания случайной точки в полосу (рис. 11):

; (32)

. (33)

Рис.11.

Доказательство. Докажем, например, первое равенство. Событие

— сумма попарно несовместных событий. Переходя к вероятностям, получаем:

,

откуда следует нужное равенство. ▄

6. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник (рис. 12):

EMBED Word.Picture.8

Рис.12.

. (34)

Доказательство. Имеет место равенство случайных событий (рис.13):

— сумма несовместных событий. Переходя к вероятностям, получаем:

P=

.

Обе вероятности в правой части – это вероятности попадания в соответствующие полосы. Применяя к ним формулу (32) при исоответственно, получаем требуемое равенство (34). ▄

Рис.13.

4.2. Дискретные двумерные случайные величины

Определение. Двумерная случайная величина называетсядискретной, если дискретными являются обе ее составляющих и.

Пусть законы распределения составляющих имеют вид:

и . Обозначим черезвероятность:

.

Закон распределения двумерной случайной величины имеет вид , причем, как и в одномерном случае, выполняется равенство:.

Если составляющие инезависимы, то по теореме умножения:

4.3. Непрерывные двумерные случайные величины

Определение. Двумерная случайная величина называетсянепрерывной, если существует неотрицательная интегрируемая в функциятакая, что функция распределенияпредставима в виде:

(35)

(область интегрирования изображена на рис. 14).

EMBED Word.Picture.8

Рис. 14.

Функция называетсяплотностью распределения.

Замечание. Для двойного интеграла с переменными верхними пределами справедлива теорема, аналогичная теореме о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом [12]:

.