II. Вероятность отклонения от математического ожидания.

Теорема. Пусть непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрамии. Тогда для всякоговероятность отклонения значенияот математического ожиданияпо модулю меньше чем на, задается формулой:

. (20)

Доказательство. Применим формулу (19) при

, так что . Поскольку функцияявляется нечетной, то

. ▄

Пример. Пусть имеет нормальное распределение, и. Найдем привероятность отклонения от математического ожидания:

.

III. Правило «трех сигм».

Применим последнюю теорему и формулу (20) к отклонению . При этом

.

Итак, для нормально распределенной случайной величины с параметрами ивероятность отклонения реализованного значения от математического ожидания менее чем на, приближенно равна. Во многих практических ситуациях случайное событие с такой вероятностью принято считать практически достоверным.

Поэтому полагают, что практически все реализуемые значения нормально распределенной случайной величины с параметрами ипопадают в интервал. В этом и заключается «правило трех сигм».

2.11. Корреляция случайных величин

1. Нормированные случайные величины.

Определение. Случайная величина называетсяцентрированной, если она имеет математическое ожидание, равное нулю: .

Пример. Случайная величина , распределенная по нормальному закону с параметрамии, является центрированной, поскольку.

Напомним, что для случайной величины , имеющей математическое ожидание, случайная величинаназываетсяотклонением (отклонением от математического ожидания).

Теорема. Отклонение является центрированной случайной величиной.

Доказательство. По свойствам математического ожидания:

. ▄

Определение. Случайная величина называетсянормированной, если она имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице: .

Теорема. Для случайной величины , у которой,(так что— среднеквадратическое отклонение), случайная величина

(21)

является нормированной.

Доказательство. По свойствам математического ожидания и дисперсии:

;

. ▄

Теорема. Для нормированной случайной величины справедлива формула:

. (22)

Доказательство. По формуле разности математических ожиданий (7):

. ▄

2. Корреляционный момент.

Определение. Пусть случайные величины иимеют математические ожиданияи. Их корреляционным моментомназывается математическое ожидание произведения отклонений:

.

Определение. 1. Случайные величины иназываютсякоррелированными, если их корреляционный момент не равен нулю: .

2. Случайные величины иназываютсянекоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю: .

Теорема. Если случайные величины инезависимы, то их корреляционный момент равен нулю:.

Доказательство. По свойствам математического ожидания:

(последнее равенство имеет место по теореме умножения для математических ожиданий независимых случайных величин). ▄

Следствие. Если случайные величины иявляются коррелированными, то они зависимы.

3. Коэффициент корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин и, имеющих корреляционный моменти средние квадратические отклонения, называется число

.

В то время как корреляционный момент является размерной величиной, значение которой зависит от выбора единиц измеренияи, коэффициент корреляцииявляется безразмерной величиной.

Теорема (об оценке коэффициента корреляции). Справедливо неравенство:

.

Доказательство. Пусть и– соответствующие нормированные случайные величины, полученные по формуле (21). Тогда, внося постоянные множители под знак математического ожидания, имеем:

. (23)

Применим к дисперсии формулу разности математических ожиданий (7):

(применим формулу (22) к первому и третьему слагаемым, формулу (23) — ко второму)

.

Итак, . ▄

Замечание. В ходе доказательства для нормированных случайных величин установлено равенство:

. (24)

Теорема (необходимое условие независимости). Если

случайные величины инезависимы, то.

Доказательство. Поскольку инезависимы, то

. ▄

Теорема (критерий линейной связи). Для того чтобы случайные величины ибыли связаны функциональной линейной зависимостью вида, необходимо и достаточно выполнение условия.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть ; по свойствам математического ожидания и дисперсии:

;

.

Теперь

.

2. Достаточность. Пусть , то есть. Если, например,, то с учетом (24):

,

так что . Тогда, по свойству дисперсии

, то есть

.

Остается положить

; . ▄