П.4 Дифференциальные уравнения порядка выше первого

Уравнение вида илирешается двукратным интегрированием:,, откуда. Проинтегрировав эту функцию, получим новую функцию отf(x), которую обозначим через F(x). Таким образом, ;. Интегрируем еще раз: или у=Ф(х) . Получили общее решение уравнения, содержащее две произвольные постоянныеи.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение: ,, ,

Пример 2. Решить уравнение . Решение:,,.

Раздел 3.2. Числовой ряд, его члены

Определение 1. Числовым рядом называется выражение вида ++…++…,(1)

где ,, …,, …— числа, принадлежащие некоторой определенной числовой системе.

Так, можно говорить о действительных рядах, для которых R, о комплексных рядах, для которых C, i = 1, 2, …, n, …

Для сокращенного обозначения рядов используется знак суммирования , а именно

+ + … ++ …= .(2)

Определение 2. Числа ,, …,, …называютсячленами ряда (2); a_n называется общим членом ряда. Иногда общий член удобнее записывать так, чтобы индекс n принимал значения n = 0, 1, 2,…

Определение 3.Ряд (3) называетсярядомгеометрической прогрессии.

Если, например, a= 1,q= 1/2, то получим ряд 1 +++ …++ … = .

Определение 4. Ряд = 1 +++ … ++ …, составленный из чисел, обратных натуральным числам, называетсягармоническим рядом.

Другие примеры рядов:

= 1 + ++ … ++ …,

= 1 + ++ … ++ …

Определение 5. Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой ряда.

Признак Даламбера. Теорема. Пусть дан ряд (1) с положительными членами. Допустим, что существует и =.

Тогда:

1. если <1, то ряд (1) сходится;

2. если >1, то ряд (1) расходится;

3. если=1, то следует воспользоваться другим признаком сходимости.

Пример 1: Исследовать на сходимость ряд: .Решение: Здесь , и поэтому < 1. Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 2: Исследовать на сходимость ряд +++ … ++ … =.

Решение: ===< 1. Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 3: Исследуйте на сходимость ряд: .

Решение:Имеем====.

Раздел 3.3. Основы теории вероятностей и математической статистики

Тема 1. Комбинаторика

п.1 Понятие факториала

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1·2·3·…·(n-1)·n

Вычислить: 3! Решение: 3!=1·2·3=6

п.2 Перестановки

Определение: Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов называются перестановками или Установленный в конечном множестве порядок называется перестановкой его элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается Р_n, их вычисляют по формуле:

Р_n = n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1 или с помощью факториала: Р_n = n!

Следствия: Р₀=1! =1; Р₁=1!=1

Пример: Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

Решение: Искомое число способов равно числу перестановок из 10 элементов:

Р₁₀ = 10! = 3 628 800

п.3 Размещения

Определение: Комбинация из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов, называются размещениями.

Число размещений обозначается и вычисляется по формуле:

Пример: Перед выпуском группа студентов в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

Решение: Передача фотокарточек одним студентом другому есть размещение из 30 элементов по 2 элемента:

- число размещений равно 870.

п.4 Сочетания

Определение: Сочетаниями называются все возможные комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n - натуральные числа, причем m ≤ n).

Число сочетаний обозначается и вычисляется по формуле:

Пример: Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Решение: Состав каждой бригады является конечным множеством из 12 элементов по 6. Значит, искомое число способов равно числу сочетаний из 12 элементов по 6 в каждом: