Раздел 1.6. Геометрический смысл определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции:

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x).

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = ƒ(х) ≥ 0. Найдем площадь этой трапеции.

Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции у = ƒ(х) (рисунок), определяется по формуле:

В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла.

Пример 1:Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х².+2, у=0, х= -2, х=1.

Решение :Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение у=0 задает ось Ох).

Ответ: S = 9 ед²

Пример 2: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= - е^х, х=1  и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж. Если криволинейная трапецияполностью расположена под осью Ох, то её площадь можно найти по формуле:

В данном случае:

Ответ:

Внимание! Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

Раздел 1.7.Применение определенного интеграла п.1 Вычисление объема тела вращения

Если криволинейная трапеция прилежит к оси Оx, а прямые у=a, у=bи график функции у=F(x) (Рис.1), тогда объем тела вращения определяется по формуле, содержащей интеграл.

Объем тела вращения равен:

Пример:

Найти объём тела, ограниченного поверхностью вращения линии вокруг оси Ох при 0≤ х ≤4.

Решение: V

ед³. Ответ: ед³.

Раздел 3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

п.1 Понятие о дифференциальном уравнении

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее функцию от совокупности переменных и их производных.

Общий вид такого уравнения =0, где F- известная функция своих аргументов, заданная в фиксированной области; х - независимая переменная(переменная, по которой дифференцируется);у - зависимая переменная (та, от которой берутся производные и та, которую надо определить);- производная зависимой переменной у по независимой переменной х.

п.2 Основные понятия дифференциального уравнения

Порядкомдифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.

Например:

- уравнение второго порядка,- уравнение первого порядка.

Всякая функция, связывающая переменные и обращающая дифференциальное уравнение в верное равенство, называется решением дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция оти произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество по.

Общее решение, записанное в неявном виде =0, называетсяобщим интегралом.

Частным решением уравнения =0 называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении- фиксированное число.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения n-го порядка (n= 1,2,3,…), удовлетворяющего начальным условиям вида

,

называется задачей Коши.

п.3 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в видеможно переписать в виде. Если. Интегрируем:.

Чтобы решить уравнение такого вида надо:

1. Разделить переменные;

2. Интегрируя уравнение с разделенными переменными, найти общее решение данного уравнения;

3. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).

Пример 1. Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию y=4 при x=-2.

Решение: Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения: . Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представим в виде C/2. Имеемили- общее решение. Подставив в общее решение значения y=4 и x=-2, получим 16=4+С, откуда С=12.

Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид

Пример 2. Найдите частное решение уравнения, если при .

Решение: , ,,,,общее решение.

Подставляем значения х и у в частное решение: ,,частное решение.

Пример 3. Найдите общее решение уравнения . Решение:, ,,- общее решение.