Раздел 1.5. Определенный интеграл, методы его вычисления.

п.1 Понятие определенного интеграла

    Задача. Найти приращение функции, первообразной для функции f(x), при переходе аргумента x от значения a к значению b.

    Решение. Положим, что интегрированием найдено: ∫(x)dx = F(x)+C.

    Тогда F(x)+C₁, где С₁ - любое данное число, будет одной из первообразных функций для данной функции f(x). Найдем её приращение при переходе аргумента от значения a к значению b. Получим:

[F(x)+C₁ ]_x=b - [F(x)+C₁ ]_x=a=F(b) +C₁ - F(a) -C₁ =F(b)-F(a)

    Как видим, в выражении приращения первообразной функции F(x)+C₁ отсутствует постоянная величина C₁. А так как под C₁ подразумевалось любое данное число, то полученный результат приводит к следующему заключению: при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b все функции F(x)+C, первообразные для данной функции f(x), имеют одно и то же приращение, равное F(b)-F(a).

    Это приращение принято называть определенным интегралом и обозначать символом: и читается: интеграл от а до b от функции f(x) по dх или, короче, интеграл от а до b от f(х)dх.

Число а называется нижним пределом интегрирования, число b - верхним; отрезок а ≤ x ≤ b – отрезком интегрирования. Предполагается при этом, что подынтегральная функция f(x) непрерывна при всех значениях x, удовлетворяющих условиям: a  x  b

    Определение. Приращение первообразных функций F(x)+C при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b, равное разности F(b)-F(a), называется определенным интегралом и обозначается символом: так, что если ∫(x)dx = F(x)+C, то = F(b)-F(a) - данное равенство называется формулой Ньютона - Лейбница.

п.2 Основные свойства определённого интеграла

Все свойства сформулированы в предложении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.

1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

= -

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части: = + , где а < c < b

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: = c .

5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:

п. 3 Непосредственное вычисление определенного интеграла

Для вычисления определённого интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница

=

т.е. определённый интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

1. найти неопределенный интеграл от данной функции;

2. в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла;

3. из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.

Пример 1: Вычислить интеграл:

Пример 2: Вычислить интеграл:    

п.4 Вычисление определенного интеграла методом подстановки

Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:

1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2) найти новые пределы определенного интеграла;

3) найти дифференциал от обеих частей замены;

4) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл); 5) вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 1: Вычислить интеграл:

Подстановка:1+cosx=t, -sinxdx = dt,