Раздел 1.2. Производная функции и ее геометрический смысл. Применение производной.

Формулы дифференцирования

Производная элементарных функций	Производная сложных функций
(lnx)' =,	(lnu)'=,
(log)' = ,	(log)'=,
(lg)' = ,	(lg)'=,
()' =	()'=
()' =	()' =
()' = 6*(ех)' = ех	()' = (еu)' = еu∙u',
()' = cosx,	()' = cos
()' = - sinx,	()' = - sin
()' = ,	()' = ,
()' = ,	()' = ,
()' = ,	()' = ,
()' = - ,	()' = - ,
()' = ,	()' = ,
()' = – ,	()' = - ,

Правила дифференцирования

1)с' = 0, – производная постоянной функции,

2)х' = 1 – производная от х по аргументу х,

3)(u+v-w)' =u' +v' -w' – производная алгебраической суммы,

4)(u∙v)' =u'∙v+u∙v' – производная произведения

5) (c∙u)' =c∙u' – постоянный множитель можно выносить за знак производной ,

6) – производная частного.

1. Производные высших порядков

Пример:

Найти производную второго порядка от функции f(x)=x⁴.

Решение: f'(x)=(x⁴)' =4x³

f''(x)=(f'(x))'=(4x³)'=4=3x²=12x² Ответ: f''(x)=12x²

Производная третьего порядка определяется аналогично - как производная от второй производной, т.е. все тоже последовательное дифференцирование. Например, третья производная от функции из предыдущего примера будет: f'''(x =24x

Дадим строгое определение производной старшего порядка:

Производной n-ого порядка f⁽ⁿ⁾(x) называется производная от производной (n-1)-го порядка.

2. Сложная функция и ее производная

Определение. Сложная функция - это функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а  и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = h(х), то у  - cложная функция от х, то есть y = f (h(x)), определённой для тех значений х, для которых значения h(х) входят в множество определения функции f (u).

Например,если y=u²и u=1+x³, то у - сложная функция от х, что можно записать следующим образом: y=(1+x³)²

В примере: у - сложная функция независимого аргумента х, а u - промежуточный аргумент.

Дифференцирование сложной функции (ТЕОРЕМА): Производная сложной функции равна производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной.

Коротко можно сказать так: Производная сложной функции равна произведению производных от функций, ее составляющих, т.е.

Например:

Рассмотрим функцию y= (2x²- 1)³. Эту функцию можно рассматривать как сложную функцию, составленную из кубической функции y=f(u)=u³и квадратичной u=g(x)=2x²- 1. Тогда производная исходной функции находится следующим образом:

y=f(u)=u³, u=g(x)=2x²- 1.

y' = f '(u)∙u'(x) = (u³)'∙(2x²- 1)' = 3u²∙(2∙2x-0) = 3u²∙4x = 12u²x

Вспомним, что функция u - промежуточная и введена нами для удобства нахождения производной от сложной функции, теперь нам надо вернуться обратно, подставив вместо этой промежуточной функции ее выражение: u=2x²- 1.

y'=12u∙x=12(2x²-1)=24x³-12x