5. Приложения производной.

1. Геометрический смыл производной:

Рассмотрим график функции y =f(x ).

Из рисунка 1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: , где α - угол наклона секущейAB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущаяАВ приближается к касательной АС.

Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A, т.е. . Отсюда следует: Производная функции в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, т.е. .

Уравнение касательной и нормали к графику функции

1. Касательной к графику функции в точке (х_0; f(х₀) называется предельное положение секущей (АС).

Уравнение касательной: y – f(x₀) =

2. Прямая, перпендикулярная касательной (АС) в точке (х_0; f(х₀), называется нормалью к графику функции.

Уравнение нормали: y – f(x₀) =

Задача: Составить уравнения касательной и нормали, проведённых к графику функции y=10x-xв точке с абсциссой равной х₀=2.

Решение:

1. Находим ординату точки касания: f(х₀)=f(2)=10∙2–2²=16,

2. Находим угловой коэффициент касательной: f^'(х)= (10x-x)^'=10-2х,=f^'(2)=10–2∙2=6

3. Составляем уравнение касательной: y–16 = 6∙ (х-2), y–16 = 6х–12, y–6х–4 = 0 – уравнение касательной,

4. Составляем уравнение нормали: y –16 = , 6y –96 = –х+2, 6y+х–98=0 – уравнение нормали.

5.2. Физический смысл производной:

Определение. Скорость движения тела равна первой производной от пути по времени:

5.3. Механический смысл производной:

Определение. Ускорение движения тела равно первой производной от скорости по времени или второй производной пути по времени:

Задача:Определить скорость и ускорение точки, движущейся по законув моментt=4c.

Решение:

1. Находим закон скорости: v=S'=

2. Находим скорость в момент t= 4c:v(t)=v(4)=2∙4²+8∙4=64ед/сек

3. Находим закон ускорения: а=v′=

4. Находим ускорение в момент t= 4c:а(t)=а(4)=4∙4+8=24 ед/сек²

Раздел 1.3. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях. Понятие дифференциала функции

Дифференциалом функцииу=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):dy=ƒ'(х)∙∆х  (1).

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка.Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (1) можно записать так: dy=ƒ'(х) ∙ dх   (2) иными словами,дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х).

Пример1: Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x²-sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=ƒ'(х) dx находим dy=(3х²-sin(l+2x))'dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

Пример2: Найти дифференциал второго порядка функции: y = x³ –7x.

Решение: