ГЛАВА-1-06.13

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0 ; 10.10. 0 ; 10.11. ; 10.12. ; 10.13. 1; 10.14.

; 10.15. e 1 ;

0 ; 10.10. 0 ; 10.11. ; 10.12. ; 10.13. 1; 10.14.

; 10.15. e 1 ;

; 10.17. 1; 10.18. e3 ; 10.19. 3 ; 10.20. 1; 10.21. 1.

.pdf

Скачиваний:

202

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

1.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Тогда (в

lim x ψ x

x x0

или 0 .

силу		непрерывности показательной функции) получают:
	lim		ψ x ln x	0
e	x x0		, что сводит задачу к неопределенности

Примеры с решениями

Пример 1. Вычислить lim

1 x3

x 1 log 2 x

Решение.

Подстановка предельного значения аргумента x 1 приводит к

неопределенности

, т.е. выполняется

первое

условие теоремы:

lim 1 x3 1 13 0

lim log 2 x log 2 1 0 .

Второе условие

теоремы

тоже

x 1

f x 1 x3

выполняется,

поскольку

функции

g x log 2 x

дифференцируемы в некоторой окрестности точки

x 1, причем g x x 0

для любого x

из этой окрестности (в качестве окрестности можно рассмотреть,

например, интервал

;

). Выполняется и третье условие: существует предел

отношения производных этих функций lim

lim

3ln 2 .

Итак,

x 1

x ln 2

решение этой задачи можно коротко записать следующим образом:

1 x3

3x2

lim

1 x3

lim

3 ln 2 lim x

3ln 2

x 1

x 1 log 2 x

log

x ln 2

Ответ: 3ln 2

arctgx

Пример 2. Вычислить

lim

x 2

Решение.

2 arctgx

2 2

arctgx

1 x2

lim

ln 1 0

ln 1

x 2

x x2

lim

x 2

x 1

Ответ:

Пример 3. Вычислить

lim

x 3

x 3x

Решение.

lim

3x2

lim

3x2

ln 3

3x ln 3

lim

x 3

Ответ: 0

Пример 4. Вычислить lim x π ctg2x

Решение.

lim x ctg 2x 0 lim					x
lim x ctg 2x 0 lim					1
x				x	1

					ctg 2x
lim	1		1
lim	1		2
x	1	2	2
	cos2 2x	2


lim	x	0	lim	x

	tg 2x	0		tg 2x
x	tg 2x	0	x	tg 2x
x			x

Ответ: 12

Пример 5. Вычислить lim

x 1 x

ln x

Решение.

lim

ln x x 1 lim

ln x x 1

lim

x 1 x 1

ln x

x 1 x 1 ln x

1 x

lim

ln x x 1

lim

1 x

x 1

x 1 x ln x x 1

x 1

x 1 x 1 ln x

x 1 ln x

x ln x x

lim

x 1

ln x x

Ответ:

Пример 6. Вычислить

lim

xsin 2x

x 0

lim

ln xsin 2 x

Решение.

lim

xsin 2 x

00 e x 0

x 0

Рассмотрим

lim ln xsin 2x

lim

sin 2x ln x 0

x 0

ln x

lim

ln x

lim

cos 2x 2

sin 2x

sin

sin 2x

lim

sin 2x

lim

sin 2x 1 1 0 0

x 0 cos 2x

x 0

lim

ln xsin 2 x

lim

xsin 2 x

00 e x 0

x 0

Ответ: 1.

Пример 7. Вычислить lim x cos x x x sin x

Решение. Перед нами неопределенность			, в числителе дроби мы видим
Решение. Перед нами неопределенность			, в числителе дроби мы видим

функции, дифференцируемые на всем множестве действительных чисел, но

			1 sin x
отношение производных	x cos x			не имеет предела при x .

		1 cos x
	x sin x

Однако, это не значит, что исходный предел не существует, его можно вычислить без использования правила Лопиталя, применяя лишь тождественные преобразования и свойства пределов:

cos x

x cos x

x 1

lim

sin x

x x sin x

sin x

x 1

Ответ: 1.

x2 sin 1

Пример 8. Вычислить lim x x 0 sin x

Решение. Правило Лопиталя не применимо, так как при отношения производных

sin

2x sin

cos

2x sin x

cos x

sin x

задача имеет решение:

x2 sin

sin x

lim

x sin

lim

x sin

x 0

sin x

x 0 sin x

x 0

Ответ: 0

Пример 9. Вычислить

lim

x 2 2

Решение.

x 0 предел

не существует. Но

1 1 0 0

lim

x 2

lim

x 2

lim 2

x 2 2

lim

x 2 2

x2 2

lim

...

Правило Лопиталя не приводит нас к решению этой задачи, но искомый предел существует и его легко вычислить, разделив числитель и знаменатель дроби на x:

lim

x 2

Ответ: 1

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить следующие пределы:

10.1. lim

1 e5x

x 0 sin 3x

10.6.

lim

arcsin x 2

ctg3x 1

10.2. lim

tgπx

x 2

10.7.

lim

x ln x

x 0

10.3.

lim

1 tgx

10.8. lim 1 e

ctg3x

x 4

x 0

x3 e 3x

10.9.

lim

10.4. lim

sin 4x

10.10.

lim

ln x ln x 1

x 0

x 1 0

10.5.

lim

, где n N

e x

10.11.

lim

x e

10.12.

lim

e2x

10.13.

lim

10.18.

lim

1 ln x

x 4 x 4

x 0

10.14. lim

10.19.

lim

x 3x

x 3 x 3

x 6

10.20.

lim

(ctgx)sin x

10.15. lim x1 x

x 0

x 1

10.16. lim 1 sin 3x ctg6 x

1 x

x 0

10.21.

lim

x 0

10.17.

lim sin x tg 2 2 x

x 0

Ответы

10.1.

;

10.2.

;

10.3.

2 ;

10.4.

; 10.5. 0

; 10.6.

; 10.7.

0 ; 10.8.

§11. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции

Функция y f (x) называется возрастающей (убывающей) на интервалеa;b , если она определена на этом интервале ( a;b D( f ) ) и если для любых

двух точек	x1 и x2 ,		принадлежащих этому	интервалу, из условия
x1 x2 следует неравенство			f ( x1 ) f ( x2 ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ).
Функция	y f (x)	называется неубывающей		(невозрастающей) на

интервале a;b , если она определена на этом интервале ( a;b D( f ) ) и если для любых двух точек x1 и x2 , принадлежащих этому интервалу, из условия x1 x2 следует неравенство f ( x1 ) f ( x2 ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ).

Функция y f (x) называется монотонной на интервале a;b , если она

является неубывающей на этом интервале или невозрастающей на этом
интервале. Если функция y f (x) возрастающая на	a;b	или убывающая на
a;b , то ее называют строго монотонной на интервале a;b .
Если функция y f (x) дифференцируема и	является возрастающей
	( f ( x)	0 ) для любого	x
(убывающей) в некотором промежутке, то f (x) 0

x через

из этого промежутка. При этом точки, в которых f ( x) 0 не заполняют никакого отрезка (необходимое условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в промежутке) .

Если функция y f (x) дифференцируема и является неубывающей (невозрастающей) в некотором промежутке, то f (x) 0 ( f (x) 0 ) для любого

x из этого промежутка – необходимое условие неубывания (невозрастания)

дифференцируемой функции в промежутке.

Если в любой точке x	некоторого промежутка		( f
		f (x) 0		(x) 0 ), то в
этом промежутке функция	y f (x) возрастает (убывает)		−	достаточное

условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в промежутке.

Рассмотрим	функцию			y f (x) , непрерывную			в	точке x0 . Точка x0
называется точкой		максимума функции			y f (x) ,		если		существует		такая
окрестность точки		x0 ,	что для все x x0 из			этой окрестности f ( x) f ( x0 ) .
Значение функции		в	точке	максимума	называется			максимумом		функции:
ymax f ( xmax ) .
Точка x0	называется точкой минимума функции								y f (x) ,		если
существует такая		окрестность точки x0 ,				что для		всех	x x0	из	этой
окрестности f ( x) f ( x0 ) . Значение функции						в точке		минимума называется
минимумом функции: ymin f ( xmin )

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции. Значения функции в точках экстремума называются экстремумами функции.

Если функция y f (x) имеет в точке x0 экстремум, то f ( x0 ) 0 или f ( x0 ) не существует – необходимое условие экстремума. Отсюда следует, что

точки экстремума функции следует искать только среди тех точек, в которых производная функции равна нулю или не существует, такие точки называются

критическими или стационарными точками функции.

Если функция y f (x) непрерывна в некоторой окрестности критической точки x0 и дифференцируема в этой окрестности (за исключением может быть, самой точки x0 ) и если при переходе x0 (слева направо):

1)f (x) меняет знак с «+» на «−», то x0 – точка максимума функции,

2)f (x) меняет знак с «−» на «+», то x0 – точка минимума функции,

3)f (x) не меняет знак, то в точке x0 функция не имеет экстремума.

Если в критической точке x0 функция y f (x) дважды дифференцируема, то определить характер экстремума (если в точке x0 функции имеет экстремум) можно по знаку второй производной, а именно:

1)если f ( x0 ) 0 , то x0 − точка максимума функции,

2)если f ( x0 ) 0 , то x0 − точка минимума функции.

Примеры с решениями

Пример

Найти

интервалы

возрастания

убывания

функции

f (x) x3 3x2 9x 5 .

D f ; .

Решение.

Область

определения

функции

Находим

производную

6x 9.

Для

нахождения

интервалов

возрастания

f (x) 3x

функции

решаем

неравенство

0 ,

6x 9 0 ,

2x 3 0 ,

f (x)

получаем

x ; 1 3; , на этих интервалах функция возрастает.

Для

нахождения

интервалов

убывания

решаем

неравенство

0 ,

f (x)

3x 2 6x 9 0 , x 2

2x 3 0 , получаем x 1;3 , на этом интервале функция

убывает.

Можно поступить и так: находим точки, в которых

6x 9 0 ,

f (x) 0 ,

x 2 2x 3 0 ,

1, x

Эти

точки отметим

на

числовой

прямой и

определим знаки производной на образовавшихся интервалах:

Интервалы, на которых производная функции имеет знак «+», являются интервалами возрастания функции, а те, на которых «−» − интервалами убывания.

Ответ:	функция возрастает на интервале ; 1 и					3; ;	функция
убывает на интервале 1;3
Пример 2. Найти интервалы монотонности функции f (x) x ln x
Решение.	Область	определения функции			D f 0; .		Находим
		1

производную	f (x) ln x x x ln x 1, решаем уравнение f					( x) 0 ,
			ln x 1 0,ln x 1, x	1	.
			ln x 1 0,ln x 1, x		.
				e

Изображаем область определения функции и наносим на нее точку x 1e ,

после чего определяем знак производной на каждом из образовавшихся интервалов:

		1
Теперь видим, что на интервале 0;			функция убывает, а на интервале
Теперь видим, что на интервале 0;			функция убывает, а на интервале
		e
1
	; возрастает.
	; возрастает.
e

;

Ответ: функция возрастает на интервале

убывает на интервале

Пример 3. Найти экстремумы функции y x 5 3

Решение.

Область

определения

функции

D y ; .

Находим

2 x 5

3x 2x 10

5 x 2

3 2

x 5 3 x

производную

33 x

33 x .

Находим критические точки: y не существует при x 0 ,

y 0 при

x 2 .

Изображаем область определения функции (это вся числовая прямая) и наносим на нее критические точки, после чего определяем знак производной на каждом из образовавшихся интервалов:

По знаку производной на каждом интервале определяем характер монотонности функции и видим точки экстремума. Остается вычислить сами

экстремумы функции: ymax y 0 0, ymin y 2 334 .

Ответ: ymax y 0 0, ymin y 2 334

Пример 4. Найти экстремумы функции y 13 x3 2x2 21x 4 .

Решение.

D y ;

y x2 4x 21 D y ;

Критические точки: y 0 : x1 7, x2 3 y 2x 4

y 7 14 4 10 0 x1 7 xmax ,

ymax y 7 13 7 3 2 7 2 21 7 4 134 23 y 3 6 4 10 0 x2 3 xmin ,

ymin y 3 13 33 2 32 21 3 4 32

Ответ: ymax y 7 134 23 , ymin y 3 32 .

Примеры для самостоятельного решения

Найти интервалы возрастания и убывания функций:

11.1. y 3x4

4x3 12x2 1

11.9. y x e x

11.10 y x e x2

11.2. y 3 x

2 x

11.3. y 1 x3

11.11. y

x 2

11.4. y

x 2

11.12. y

11.5. y ln x 1

11.13. y x sin x

11.6. y x ln x

11.7. y x arctgx

11.14. y 2 x 2

11.8 y x arctg2x

Найти экстремумы функций:

11.15. y

11.19. y sin 2 x,0 x 2π

11.20. y x cos 2x,0 x π

11.16. y

11.21. y

x 2

11.17. y x2

e x

11.18. y x e

Ответы

11.1.убывает при x ;0 , возрастает при x 0; ;

11.2.возрастает при x ;2 и x 3; убывает при x 2;3 ;

11.3.убывает при x ; ;

11.4. возрастает при x ; 2 и	x 2; , убывает при	x 2;0 и
x 0;2 ;

11.5.возрастает при x 1; ;

11.6.убывает при x 0;1 , возрастает при x 1; ;

11.7.убывает при x ;0 , возрастает при x 0; ;

11.8.возрастает при x ; 1 и при x 1; , убывает при x 1;1 ;

11.9. возрастает при x ;1 , убывает при x 1; ;

11.10.

убывает при

;

при

;

возрастает при

;

x ;0

x 4; ,

при x 0;2 и

11.11. возрастает при

при

убывает

x 2;4 ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.20151.71 Mб30выш.мат. методичка.DOC
#
16.08.2019281.06 Кб3Геллнер Э.docx
#
08.09.2019125.95 Кб15Геморрагический синдром.doc
#
05.08.20193.97 Mб11география итоговый вариант.docx
#
13.02.201561.44 Кб12Гидросфера.doc
#
12.03.20161.9 Mб202ГЛАВА-1-06.13.pdf
#
12.03.20161.64 Mб70ГЛАВА-2-06.13.pdf
#
19.08.201937.03 Кб0ГО в ЧС вторая часть.docx
#
19.08.2019758.05 Кб1ГО В ЧС.docx
#
13.02.20158.48 Mб228ГО и ЧС.doc
#
11.09.201999.09 Кб0ГО от Мягкого.docx