Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ГЛАВА-2-06.13

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл

Определения и свойства неопределенного интеграла

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x)

на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F '(x) = f(x).

Если известна одна первообразная F(x) для функции f(x) на интервале (a;b), то любая другая первообразная может быть представлена в виде F(x) + С, где С – произвольная постоянная величина. Такая форма записи первообразных носит название общего вида первообразной.

Геометрически, в системе координат xoy, графики всех первообразных функций от данной функции f(x) представляют семейство кривых, зависящих от одного параметра с, которые получаются одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси oy (рис. 1).

Рис. 1. Семейство первообразных функций

Определение 2. Множество всех первообразных для данной функции f(x)

на интервале (a;b) называется неопределѐнным интегралом функции f(x) на этом интервале и обозначается символом:

f (x)dx F(x) C.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на промежутке (a;b), то она имеет на промежутке (a;b) первообразную и неопределѐнный интеграл.

Из определений первообразной F(x) и неопределѐнного интеграла от данной функции f(x) на некотором промежутке следуют свойства неопределѐнного интеграла:

1.f (x)dx ' f (x) .

2.d f (x)dx f (x)dx .

3.dF(x) F(x) C , где С – произвольная постоянная.

4.k f (x)dx k f (x)dx , где k = const.

5.f1(x) f2 (x) dx f1(x)dx f2 (x)dx.

Замечание. Все вышеперечисленные свойства верны при условии, что интегралы, фигурирующие в них, рассматриваются на одном и том же промежутке и существуют.

Таблица основных неопределѐнных интегралов

1.0 dx C .

2.dx x C .

xα 1

3.xαdx α 1 C, α 1 .

4.dxx ln | x | C .

5. a x dx	a x	C .
	ln a

6.exdx ex C .

7.sin xdx cosx C .

8.cosxdx sin x C .

tg x C .

cos x

10.

ctg x C .

sin

11.

arctg x C .

12.

arctg

C, a 0 .

13.

arcsinx C .

1 x2

14.

arcsin

C, a 0,

a x a .

a2 x2

15.

x a

C, a 0; x a .

x a

16.

x2 a

C .

x2 a

В формулах 1–16 С – произвольная постоянная.

Справедливость формул интегрирования, а также и каждый результат интегрирования можно проверить путем дифференцирования на том основании, что интегрирование есть действие обратное дифференцированию.

Непосредственное интегрирование

а) Работа с таблицей: если предложенный интеграл оказался одним из табличных интегралов, то в этом случае требуется безошибочно найти соответствующую формулу таблицы основных интегралов и воспользоваться ею.

б) Подведение под знак дифференциала: предложенный интеграл удается свести к табличному с помощью изменения переменой интегрирования или за счѐт преобразований под знаком дифференциала. Это основано на определении дифференциала d( (x)) = '(x)dx. Часто используют следующие формулы:

d(ax b); xdx

d(x2 ); dx d(x b);

d(ln x); exdx d(ex );

);

d(sin x) cos xdx;

d(cos x) sin xdx;

d(tg x);

d(ctg x)

cos2

sin2 x

и т.д.

Если известен результат интегрирования f (x)dx F(x) C , то равенство

f (u)du F(u) C будет справедливо для любой дифференцируемой функции u = (x).

Примеры с решениями

Пример 1.

arcsin

(таблица – формула 14)

4 x2

Пример 2.

4 x2

C (таблица – формула 16)

4 x2

Пример 3.

tg xdx

sin x

d cosx

ln | cosx | C (формула:

– sin xdx d(cos x) ).

cosx

Ответ: tg xdx ln | cosx | C .

Пример 4.

(2x 7)10dx

(2x 7)10 d(2x 7)

(2x 7)11

(формула:

– dx

d(ax b) ).

Ответ: (2x 7)10 dx

(2x 7)11 C .

Пример 5.

xdx

d(x2 )

arcsin

C (формула:

– xdx

d(x2 ) ).

9 x4

32 (x2 )2

Ответ:

xdx

arcsin

C .

9 x4

Пример 6.

exdx

d(7 5ex )

ln | 7 5ex | C ( формула:

– exdx d(ex ) ).

5ex

7 5ex

Ответ:

xdx

ln | 7 5ex | C .

9 x4

Пример 7.

d ln x

arctg(ln x) C (формула: –

d(ln x) ).

x(ln2 x 1)

ln2 x 1

Ответ:

arctg(ln x) C .

x(ln2 x 1)

Примеры для самостоятельного решения

x3dx

7. sin2 x cos xdx

8. x 2 x

ln 2 x

x 3 dx

10.

arcsin x

1 x

11.

x 10

5x 7

12.

12 7x

13.

14.

3 2x2

15.

sin 3x 5 dx

16.

cos

17.

sin ln x

18.

sin

2 x

19.

cos2 7x

20.

1 cos3x

21.

1 cos5x

22.

7x dx

23.

2x 5x dx

24.

25.

e x dx

26.

27.

e7 x dx

28.

ex2 xdx

29.

2 x2 xdx

30.

3sin x cosxdx

31.

7cos2 x sin 2xdx

5tgx

32. cos2 x dx

10 ctgx

33. sin 2 x dx

34. x2 9

35. 4x2 25

36. 30 12x2

37. x2 36

38. 9x2 16

39. 49 3x2

40. 9 x 2

41. 121 25 x 2

42. 42 9x 2

43. 3x 2 4

44. 4x2 18

45. xln 2 x 2

cos xdx 46. 4 9sin 2 x

47. ctg7xdx

48. tg 3 dx

49.							xdx																																																	50.												xdx

				4x			4			25																																																						9x				4	49
				4x						25																																																						9x					49
																																															Ответы
																																			5													x 3								3
	4																																x 3															x 3								2																											4
1.	x				C ; 2.															1	C ; 3.																C ; 4.																						C ; 5.													2x 5														C ;
	x																			1													5																		3																					2x 5
	4
																				x																																																										8
																				x																																																										8
																																	3																		2
														3																																										5
	4		5x 7											4																	3																						2			5																			3																								2
6.	4		5x 7											4				C ; 7.									sin						x			C ; 8.										2 x												C ; 9.													ln							x				C			;10.							arcsin							x	C ;
6.			15															C ; 7.						3												C ; 8.													10									C ; 9.																3								C			;10.								2							C ;
			15																					3																									10																									3																			2
					x 10								C ;12.													1							12 7x										C ;13.											1			ln x2									2 C ; 14.																							1											C ;
11. ln																												ln																																																														ln			3 2x2


					1																			7																	x												2																																		4							x
15.					1	cos 3x 5 C ; 16. 2 sin																																			x			C					; 17. cos ln x C ; 18.																																					5ctg								x		C ;
15.			3			cos 3x 5 C ; 16. 2 sin																																						C					; 17. cos ln x C ; 18.																																					5ctg										C ;
			3																																				2																																																						5
19.		1			tg7x C ; 20.																		1	tg					3x					C					; 21.										1	ctg					5x						C						; 22.									7x							C ; 23.										10x						C ;
19.	7				tg7x C ; 20.																			tg						2				C					; 21.										5	ctg											C						; 22.								ln 7								C ; 23.										ln10						C ;
24.	7									C ;												3								2																			5		C					2																			ln 7								28.										ln10
24.	3 x									C ;									25. e x C ; 26. 2e 2																																C					; 27.									1 e7 x C ;																		28.					1 ex2 C ;
																																																	x

					ln 3																																																												7																						2
				1 2				x2																			sin x																																																		tgx																					ctgx
29.				1 2											C ; 30.									3										C					; 31.										7 cos 2x												C						; 32.								5									C ; 33.											10					C ;

					2 ln 2																						ln 3																																																ln 5
					2 ln 2																						ln 3																							2 ln 7																									ln 5																					ln10

34.		1			arctg							x			C ; 35.										1					arctg								2x				C ; 36.														1							arctg									x					2				C				;
																								10																																																									C
																																																					6					10																	5
	3								3																											5																	6					10																	5

37.		1			ln				x 6										C			;		38.									1			ln			3x 4										C ;									39.										1							ln					x				3 7							C ;
									x 6																						24								3x 4
																																																																	14 3
						12																																																											14 3																	x 3 7
40.		arcsin									x				C ;							41.						1				arcsin								5x				C ;							42.								1			arcsin											3x									C			;
																																																										3
																																																																										42
									3															5															11																																			42
		1																																											1
43.		1				ln				x					3 3x2										4								C ;						44.						1		ln			2x										4x2							18							C ;
																																												2

			3																																					1											3sin x																									1
																																																													C ; 47.																		ln					sin 7x						C ;
45.	ln				ln x												ln 2 x 2										C ; 46.															arcsin
45.	ln				ln x												ln 2 x 2										C ; 46.															arcsin
																x																							3														2												2x2										7												1						3x2 7
																																							3														2																						7
48.	3 ln								cos										C			;																						49.								1				arctg														C ;													50.								ln									C .
																																																				1
																3																																			20																5																				84						3x				2	7
																3																																			20																5																				84						3x					7

§2. Интегрирование посредством разложения подынтегральной функции на слагаемые

Метод интегрирования разложением функции на слагаемые базируется на линейных свойствах неопределенного интеграла (4 и 5). Если подынтегральная функция представляет алгебраическую сумму нескольких слагаемых, то согласно свойству (5) можно интегрировать каждое слагаемое отдельно. Это позволяет многие интегралы свести к сумме более простых интегралов.

Примеры с решениями

Пример 1. Найти интеграл 3x2

2x 5 dx

Решение.

3x2

2x 5 dx 3x2dx 2xdx 5dx x3 x2

5x C.

Ответ: x3 x2

5x C.

Пример 2. Найти интеграл

7x2

x 1

Решение. Разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, деля

числитель почленно на знаменатель.

7x2

x 1

x 2 dx x 3dx 7 ln

2x2

Ответ: 7ln

2x2

Пример 3. Найти интеграл 1 ex 3dx

Решение. Возводим в куб и интегрируем каждое слагаемое.

1 ex 3 dx

1 3ex 3e2 x e3x dx dx 3 ex dx 3 e2 x dx e3x dx

x 3ex

e2 x

e3x

Ответ: x 3ex 32 e2 x 13 e3x C.

Пример 4. Найти интеграл 2x 3 dx x2 4

Решение. Разлагаем подынтегральную дробь на две слагаемых дроби, деля числитель почленно на знаменатель.

2x 3

x 2

x 2 4

x 2

Ответ: ln

x2 4

x 2

Пример 5. Найти интеграл

Решение. Выделим в неправильной дроби целую часть и правильную

дробь.

x 2 5 5

x 2

dx 1

dx dx 5

5arctg

Ответ: x 5arctg x5 C.

Примеры для самостоятельного решения

1.	x4						5x3								2 dx						12.		sin x cosx 2 dx
	2 5									3							5 dx									3 2 x 2 3x
2.	2 5							x		3					2x		5 dx				13.					3 2 x 2 3x												dx
													1								13.									2			x					dx

							x
3.															dx									1 cos2 x
3.														3	dx									1 cos2 x
													x								14.															dx
													x								14.			1 cos 2x												dx
4.	x 1 x 2 dx																							1 cos 2x
4.	x 1 x 2 dx																												cos2x
																					15.								cos2x									dx
					2
				x	2		2x 1																						2						2
				x			2x 1
5.																dx										cos x sin x
5.								x	3							dx								1 sin								3 x
								x													16.			1 sin								3 x			dx
				x	2		1														16.						sin			2		x			dx
6.				x			1				dx

				x	2		1																			x3 1
				x			1														17.					x3 1							dx
				2x 7
7.				2x 7								dx														x2			3
7.				x	2		9					dx															x		5
				x			9																						5
						x3															18.											dx

											dx															x	2		1
8.																										x			1
8.				x	2		1																			x		3	x
				x			1																					3
	ex						e x 2 dx
																					19.													dx
9.																					19.					9x4 4								dx
10. tg 2 xdx																					20.				x2 2								dx
10. tg 2 xdx																					20.												dx
11. tgx ctgx 2 dx																										x 2
11. tgx ctgx 2 dx
																				Ответы
																		6		4													3
		x5											4
								5x					4					5x5		3x 3											2x 2						1
1.								5x						2x C ; 2.				5x5	3 2	3x 3		5x C ; 3.									2x 2						1		C ;
1.			5						4					2x C ; 2.				3	3 2	4		5x C ; 3.											3				2x2		C ;
			5						4									3		4													3				2x2

4.		x3				x2			2x C ; 5. ln												x				2				1			C ; 6.						x ln					x 1				ln		x 1	C ;
		x3				x2																			2				1
																														2x2
		3			2					7									7						x					2x2				x2					1		ln x2 1 C ;
												ln			x 3							ln		x 3							C ; 8.
7. ln				x2 9


										6									6																2		2														1
										6									6																2		2
9.	1		e2 x 2x								1		e 2 x C ;						10. tgx x C ;														11. tgx ctgx C ; 12. x																			cos2x C	;


2										2																																2
									3	x


13.		3x 2							2					C ; 14.						tgx x								C ; 15.					tgx ctgx C ; 16. ctgx cos x C ;
										3										tgx x

																			2
								ln											2
								ln
										2
17.			x2				3		ln x2					3				1			arctg							x			C ; 18.					x4				x2				1		ln x2 1 C ;
		2																																	4
																										3
					2									3												3											2					2
19.		1			ln 9x4					4						1	arctg						3x2				C ; 20.						x2			2x 2 ln									x 2			C .
		1														1							3x2										x2

		36												12					2														2

§ 3. Интегрирование подстановкой

Если не удаѐтся найти интеграл f (x) непосредственно, то можно выбрать функцию x = (t), удовлетворяющую следующим условиям:

1)(t) непрерывна при t ( ; ), соответствующем интервалу x (a;b),

2)дифференцируемая при t ( ; );

3)имеет обратную функцию t = –1(x),

чтобы f (x)dx f (φ(t))φ'(t)dt ,

t = –1(x) стал табличным или более

простым. Иногда для упрощения интеграла можно сделать замену t = (x). Замечание. Выбор правильной подстановки в значительной степени зависит от искусства вычисляющего.

Примеры с решениями

Пример 1. Найти интеграл:

ex dx

e2 x 2ex 3

Решение.

Используем

формулу exdx d(ex ) d(ex 1) и

выделим в

знаменателе полный квадрат

ex dx

d (ex 1)

t 2

ex 1

e2 x 2ex 3 (ex 1)2 4

t2 4

4 ln

t 2

C 4 ln

ex 3

1 t

Ответ:

ex dx

ex 1

e2 x 2ex 3

ex 3

Пример 2. Найти интеграл

x 1

Решение.

Замена

(t 2 1)t 2tdt 2 (t 4 t 2 )dt

x 1dx

x 1

t; dx 2tdt

x t 2 1

2t5

2 t 4dt 2 t 2dt

x 1)5

x 1)3

C .

Ответ: x

(x 1)5

(x 1)3 C .

x 1dx

Пример 3. Найти интеграл

e2 x

e4 x 5

Решение.

Замена

e2x

2 x

1 dt

1 1

t 5

e4 x 5 dx

t 2 5

2 2

2e2 xdx

dt;e2 xdx

e2 x

C .

e2 x

Ответ:

e2x

Пример 4. Найти интеграл

1 ln x

Решение.

Замена

1 lnx

dx 1 ln x t

1 lnx

Ответ:

1 ln x 3 C.

Пример 5. Найти интеграл

(1 x2 )3

Решение.

3
	2
t 2 C	2	1 ln x 3 C.
t 2 C	3	1 ln x 3 C.
	3

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2019281.06 Кб3Геллнер Э.docx
#
08.09.2019125.95 Кб15Геморрагический синдром.doc
#
05.08.20193.97 Mб11география итоговый вариант.docx
#
13.02.201561.44 Кб12Гидросфера.doc
#
12.03.20161.9 Mб200ГЛАВА-1-06.13.pdf
#
12.03.20161.64 Mб70ГЛАВА-2-06.13.pdf
#
19.08.201937.03 Кб0ГО в ЧС вторая часть.docx
#
19.08.2019758.05 Кб1ГО В ЧС.docx
#
13.02.20158.48 Mб222ГО и ЧС.doc
#
11.09.201999.09 Кб0ГО от Мягкого.docx
#
13.02.2015238.75 Кб17ГО тема 1.docx