ГЛАВА-2-06.13
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
1 |
|
e 2 |
|
|
1 |
e 2b |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
b |
|
|
1 |
|
3 |
|
|||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2e2b 2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
b 2e2b |
|
b 4e2b |
|
4e2 |
|
||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
1 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4e2 |
|
4e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
b 4e2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как получили конечное число, |
то интеграл |
xe 2xdx |
сходится и равен |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ответ: |
xe 2 xdx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1
Пример 2. Исследовать на сходимость ln xdx
0
Решение.
1
ln xdx
0
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
ln xdx |
u ln x |
du |
|
dx |
|
||
x |
||||||||||
ε 0 |
|
dV dx |
|
|
|
|
||||
|
|
ε |
|
|
V x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
lim x ln x |
|
dx |
|
|
ε 0 |
ε |
ε |
|
|
|
|
|
||
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
ln x |
|
x |
|
|
|
lim |
ln 1 |
|
|
ln ε |
1 ε |
|
lim |
0 |
|
ε |
|
1 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ε 0 1 |
|
ε |
ε |
|
|
ε 0 1 |
1 |
|
|
|
ε 0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
ε2 |
|
|
|
|
|||||||
lim ε 1 0 1 1
ε 0
1
Так как получили конечное число, то ln xdx сходится и равен –1.
0
1
Ответ: ln xdx 1.
0
1 dx
Пример 3. Исследовать на сходимость
0 
1 x2
Решение.
129
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
ε 0 |
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
ε 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim arcsin(1 ε) arcsin0 lim arcsin(1 ε) arcsin1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ε 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||
Так как получили конечное число, то |
|
|
|
|
сходится и равен |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Пример 4. Исследовать на сходимость |
1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
dx |
|
0 |
dx |
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
x |
2 |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1x |
|
|
1x |
|
|
0 x |
|
ε 0 |
1 x |
|
|
|
|
δ 0 |
δ |
|
|
|
ε 0 |
|
|
1 |
|
δ 0 |
|
|
|
|
x |
δ |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
1 |
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε 0 ε |
|
|
|
|
|
|
|
δ 0 |
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1
Так как получили бесконечность, то d x расходится.
1 x2
1
Ответ: d x расходится.
1 x2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры для самостоятельного решения |
||||||||
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
||||||||
1 x2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||
2. |
|
|
|
|
|
8. |
|
|||||||||||
|
x 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
dx |
|||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x4 |
|||||||||||||
|
x 1 |
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||
4. |
|
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
1 x2 |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
130
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
|
|
|
|
|
|
11. |
e xdx |
|
|
|||||||
|
x ln x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||
6. |
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 x 1 2 |
|
|
|
x x2 |
1 |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
|
|
1. |
|
|
; 2. расходится; 3. |
8 |
|
; 4. расходится; 5. расходится; 6. 6; 7. 1; 8. расходится; |
|||||||||||
2 |
|
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
|
1 |
; 10. расходится; 11. |
1; 12. |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||
131
Учебное издание
РУДАКОВСКАЯ Елена Георгиевна АВЕРИНА Ольга Валентиновна ВОРОНОВ Сергей Мирзоевич СТАРШОВА Татьяна Николаевна ХЛЫНОВА Татьяна Вячеславовна РИГЕР Татьяна Викторовна
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ)
Редактор Е. В. Копасова
Подписано в печать 15.04.2013 г. Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л. 7,7. Уч.-изд. л. 9,1. Тираж 1000 экз. Заказ
Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева Издательский центр
Адрес университета и издательского центра: 125047, Москва, Миусская пл., 9
132