ГЛАВА-2-06.13

рассматривается как данная или определяемая из условий задачи функция от x .

2.Заменив приращение U дифференциалом du (главная линейная

часть приращения дифференцируемой функции) и x – дифференциалом dx ( x dx ), получим

U du f (x)dx

3. Интегрируя это равенство в пределах от x a до x b , получим

b

U f (x)dx

a

Геометрическое приложение определенного интеграла

1. Вычисление площади плоской фигуры (области (D))

а) Линии, ограничивающие область (D), заданы в декартовых координатах

a

119

c

Рис. 2

б) Линии, ограничивающие область (D), заданы в параметрической форме. Формула для вычитания площади области (D), ограниченной прямыми x=a, x=b (b>a), непрерывной линией, заданной параметрически уравнениями:

x (t)

y (t) и осью (ox), имеет вид:

координат

Площадь области (D), ограниченной полярными лучами φ=α, φ=β (β>α) и непрерывными полярными кривыми: r=f(φ), r=ψ(φ), где ( ) f ( ) a; находится по формуле:

120

Решение. Построив данные линии, видно, что искомая площадь области ACB (рис.6) ограниченной сверху параболой и снизу прямой, которые

пересекаются в точках А (1; ) и В (6;3), равна разности площадей А1АСВВ1 и

А1АВВ1. Тогда площадь области выражается интегралом в соответствии с формулой (1).

Ответ: 5 245 кв. ед.

Решение. Оси координат совпадают с осями симметрии данного эллипса (рис. 7). Четвертую часть искомой площади S, расположенную в первой четверти координатной плоскости, найдем как площадь криволинейной трапеции, прилегающей к Ox:

Ответ: S = 8π кв. ед.

123

Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой

а сos а .

Решение. Кардиоида симметрична относительно полярной оси (рис. 8). Тогда искомая площадь равна удвоенной площади криволинейного сектора OAB. Дуга OAB описывается концом полярного радиуса ρ при изменении угла φ от 0 до π. Используя формулу (4) найдем S.

внутреннюю область OAB при вращении еѐ вокруг оси OX, образуется сегмент параболоида вращения. Объем этого тела находим по формуле (5).

124

Примеры для самостоятельного решения

Найти площадь, ограниченную линиями:

1.Параболой y=6x – x2 и осью ox

2.Параболой y=x2+4x и прямой x – y+4=0

3.Гиперболой xy=6 и прямой y=7 – x

4.Кубической параболой y=x3 и прямыми y=x, y=2x

5.Окружностью x2+y2=4x и параболой y2=2x

125

6.Лемнискатой ρ2=a2cos2φ

7.Кардиоидой ρ= a(cosφ+1)

8.Логарифмической кривой y=lnx и прямыми y=0, x = а; а > 1

9.Окружностью x2+y2=16 и параболой x2=12(y – 1)

10.Одной аркой циклоиды x=a(t – sint), y= a(t – cost) и осью абсцисс

(a=const).

Найти объѐм тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

11.x2 y2 0, y 0, y b вокруг оси Оу a2 b2

12.y2 x 4 0, x 0 вокруг оси Оу

§10. Несобственные интегралы

При изучении определѐнного интеграла от функции f (x) требуется, чтобы функция f (x) удовлетворяла следующим условиям:

была определена на конечном отрезке [a;b];

была непрерывна на отрезке [a;b].

Если нарушено хотя бы одно из указанных условий, то речь будет идти о

несобственных интегралах первого и второго рода.

Интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на промежутке [a;+ ) или (– ;a]

или (– ;+ ).

предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на бесконечном

126

Если пределы конечные, то соответствующий интеграл считают сходящимся, а если хотя бы один из пределов не существует или бесконечный, то интеграл считают расходящимся.

Интегралы от разрывных функций

1) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в точке x = b либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = b

будем называть особой точкой функции f (x).

называется несобственным интегралом второго рода от функции f(x) на отрезке

b

[a;b] и обозначается символом f (x)dx . При этом говорят, что несобственный

a

b

интеграл f (x)dx сходится и записывается равенство:

a

Если конечный предел не существует или он бесконечный, то говорят, что

b

несобственный интеграл f (x)dx расходится.

a

2) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в точке x = a либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = a называют особой точкой функции f (x).

127

b

отрезке [a;b] и обозначается символом f (x)dx .

a

Замечание. Если функция f(x) имеет разрыв в некоторой точке x = c внутри отрезка [a;b], то по определению полагают:

при условии, что оба предела в правой части существуют, и и не зависят друг от друга. Этот интеграл также называют несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается символом:

b

f (x)dx .

a

Сходимость или расходимость такого интеграла зависит от существования или не существования конечного предела.

Примеры с решениями

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл xe 2 xdx

1

128