Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ГЛАВА-2-06.13

.pdf
Скачиваний:
31
Добавлен:
12.03.2016
Размер:
1.64 Mб
Скачать

4.

Если

из условия задачи следует, что

погрешность

этого

приближенного равенства стремится к 0 при

n , то искомая величина U

выражается определенным интегралом:

 

 

 

 

 

 

 

 

n

b

 

 

 

 

 

U lim f (xk ) xk

f (x)dx

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

x 0 k 1

a

 

 

 

 

 

 

 

Схема II

 

 

 

 

1.

Пусть

величина

U

получает

приращение

U f (x) x ,

соответствующее

изменению

x

на малую

величину

x ,

причем

f (x)

рассматривается как данная или определяемая из условий задачи функция от x .

2.Заменив приращение U дифференциалом du (главная линейная

часть приращения дифференцируемой функции) и x – дифференциалом dx ( x dx ), получим

U du f (x)dx

3. Интегрируя это равенство в пределах от x a до x b , получим

b

U f (x)dx

a

Геометрическое приложение определенного интеграла

1. Вычисление площади плоской фигуры (области (D))

а) Линии, ограничивающие область (D), заданы в декартовых координатах

Случай 1. Площадь области (D), ограниченной прямыми x a,

x b (b>a)

и непрерывными кривыми y f (x), y g(x), где f (x) g(x) x a;b (рис. 1),

находится по формуле:

 

b

 

S( D) f (x) g(x) dx

(1)

a

119

Случай 2. Площадь области (D), ограниченная прямыми y=c, y=d (d>c) и

непрерывными кривыми x ( y) и x ( y), где ( y) ( y) y c;d (рис. 2),

находится по формуле:

 

d

 

S( D) ( y) ( y) dy

(2)

c

Рис. 2

б) Линии, ограничивающие область (D), заданы в параметрической форме. Формула для вычитания площади области (D), ограниченной прямыми x=a, x=b (b>a), непрерывной линией, заданной параметрически уравнениями:

x (t)

y (t) и осью (ox), имеет вид:

 

t2

 

S( D)

(t) '(t)dt , где a (t1 ), b (t2 ), ψ(t)≥0 t [t1;t2]

(3)

 

t1

 

в) Линии,

ограничивающие область (D), заданы в полярной

системе

координат

Площадь области (D), ограниченной полярными лучами φ=α, φ=β (β>α) и непрерывными полярными кривыми: r=f(φ), r=ψ(φ), где ( ) f ( ) a; находится по формуле:

S( D)

 

1

 

2

f

2

 

(4)

 

 

 

2

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

120

2. Вычисление объема тела вращения

Формула для вычисления объема тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси (ox), имеет вид:

b

 

V(ox) f 2 (x)dx

(5)

a

 

(рис. 4)

 

а вокруг оси (oy):

 

 

 

V(oy) 2 ( y)dy

(6)

c

(рис. 5)

121

Приложение определенного интеграла к решению физических задач

1. Вычисление пути, пройденного материальной точкой при неравномерном движении по прямой со скоростью V (t) за время [t1; t2]

t2

S V (t)dt

t1

2. Вычисление работы, производимой переменной силой F(x) при перемещении по оси ox материальной точки от x=a до x=b

b

A F (x)dx

a

Примеры с решениями Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями: параболой

4 y 8x x2 и прямой 4 y x 6 .

122

Решение. Построив данные линии, видно, что искомая площадь области ACB (рис.6) ограниченной сверху параболой и снизу прямой, которые

пересекаются в точках А (1; ) и В (6;3), равна разности площадей А1АСВВ1 и

А1АВВ1. Тогда площадь области выражается интегралом в соответствии с формулой (1).

S

 

 

1

6

((8x x2 ) (x 6))dx

1 6

(7x x2 6)dx

1

(7

x2

 

x3

6x) |6

 

1

(18

17

) 5

5

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

4 2

3

1

4

6

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 5 245 кв. ед.

Пример 2. Найти площадь, ограниченную эллипсом x 2cost ,

y 4sin t .

Решение. Оси координат совпадают с осями симметрии данного эллипса (рис. 7). Четвертую часть искомой площади S, расположенную в первой четверти координатной плоскости, найдем как площадь криволинейной трапеции, прилегающей к Ox:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

замена переменной

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S ydx y 4sin t, x 2cost

 

4

0

 

x | 0 | 2

 

 

 

dx 2sin tdt,

 

 

 

 

 

 

 

t |

 

| 0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0

8 sin2 tdt

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

2

 

 

4 (1 cos 2t)dt 4(t

4

2 ; S = 4 2 кв. ед.

sin 2t) |

2

2

0

0

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: S = 8π кв. ед.

123

Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой

а сos а .

Решение. Кардиоида симметрична относительно полярной оси (рис. 8). Тогда искомая площадь равна удвоенной площади криволинейного сектора OAB. Дуга OAB описывается концом полярного радиуса ρ при изменении угла φ от 0 до π. Используя формулу (4) найдем S.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S 2

d a2 сos 2 d a2 сos сos2 d

2

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

2

 

a

2

1

 

 

a

 

(

2sin 0

 

 

 

 

сos d a

 

(

 

sin 0

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

a2

 

3

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

3

a2 кв.ед.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Вычислить объѐм тела, образовавшегося вращением фигуры,

ограниченной линиями y2

2 px , x a вокруг оси OX (рис. 9).

 

Решение.

 

Построив

 

параболу y2 2 px и

прямую

 

x a ,

получим

внутреннюю область OAB при вращении еѐ вокруг оси OX, образуется сегмент параболоида вращения. Объем этого тела находим по формуле (5).

124

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

y2dx 2 pxdx px2 |0a pa2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: pa2 ед. куб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5. Определить работу, произведѐнную при адиабатическом

расширении воздуха, имеющего начальный объѐм V0 = 1 м3 и давление

P0 =

9,8·104 Па до объѐма V1 = 10 м3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Объѐм газа в закрытом сосуде и производимое им давление P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

связаны формулой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PV k c const, k 1,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть x (м) – расстояние пройденное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поршнем (рис. 6). Предположим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при изменении

x на малую величину

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x испытываемое поршнем давление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

остаѐтся неизменным; при этом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

объѐм

V изменится

на

V. Работа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

силы

давления

на

отрезке

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выразится

 

 

 

 

 

приближѐнным

равенством: A PS x ,

где S – площадь поршня. Так как

PV k PV k c , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

P

 

c

, при этом V S x . Следовательно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

c

V PV k

V .

(Схема II)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

V k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя в пределах от V0

до V1

дифференциальное равенство dA PV k

dV

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

V k

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PV k

 

V

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

 

V 1 k

V1

PV k

V 1 k V 1 k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

PV k

 

 

 

PV k

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

0 0

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

V

 

0 0

1

k

 

1 k

 

1

0

 

 

 

k 1

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

V0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

9,8 104

1003

1 0,10,4

 

15000 кгм 147 103 (Дж)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры для самостоятельного решения

Найти площадь, ограниченную линиями:

1.Параболой y=6x – x2 и осью ox

2.Параболой y=x2+4x и прямой x – y+4=0

3.Гиперболой xy=6 и прямой y=7 – x

4.Кубической параболой y=x3 и прямыми y=x, y=2x

5.Окружностью x2+y2=4x и параболой y2=2x

125

6.Лемнискатой ρ2=a2cos2φ

7.Кардиоидой ρ= a(cosφ+1)

8.Логарифмической кривой y=lnx и прямыми y=0, x = а; а > 1

9.Окружностью x2+y2=16 и параболой x2=12(y – 1)

10.Одной аркой циклоиды x=a(t – sint), y= a(t – cost) и осью абсцисс

(a=const).

Найти объѐм тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

11.x2 y2 0, y 0, y b вокруг оси Оу a2 b2

12.y2 x 4 0, x 0 вокруг оси Оу

 

 

 

 

 

 

 

Ответы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 36; 2. 20

5

; 3. 17,5 – 6ln6; 4. 1,5; 5. ; 6. a 2 ; 7.

a2

; 8. 1;

9.

16 4 3

 

;

 

2

 

 

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. 3a2 ; 11.

4

a2b; 12.

34

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§10. Несобственные интегралы

При изучении определѐнного интеграла от функции f (x) требуется, чтобы функция f (x) удовлетворяла следующим условиям:

была определена на конечном отрезке [a;b];

была непрерывна на отрезке [a;b].

Если нарушено хотя бы одно из указанных условий, то речь будет идти о

несобственных интегралах первого и второго рода.

Интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на промежутке [a;+ ) или (– ;a]

или (– ;+ ).

 

 

b

Определение 1. Если существует конечный предел

lim

f (x)dx , то этот

 

b a

предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на бесконечном

 

 

промежутке [a;+ ) первого рода, обозначается

f (x)dx и в этом случае

 

a

126

 

 

 

 

 

 

 

b

 

считается, что интеграл сходится. Если

lim

f (x)dx

не существует или равен

 

 

 

 

 

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то считается, что интеграл f (x)dx расходится.

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Аналогично определяются интегралы:

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

lim f (x)dx

 

 

 

 

 

 

 

b b

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

c

f (x)dx

f (x)dx

f (x)dx

 

lim

 

f (x)dx

lim f (x)dx

 

 

a

b b

c a

Если пределы конечные, то соответствующий интеграл считают сходящимся, а если хотя бы один из пределов не существует или бесконечный, то интеграл считают расходящимся.

Интегралы от разрывных функций

1) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в точке x = b либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = b

будем называть особой точкой функции f (x).

 

 

b ε

Определение 2. Если существует конечный предел

lim

f (x)dx , то он

 

ε 0

a

 

 

называется несобственным интегралом второго рода от функции f(x) на отрезке

b

[a;b] и обозначается символом f (x)dx . При этом говорят, что несобственный

a

b

интеграл f (x)dx сходится и записывается равенство:

a

b

 

b ε

f (x)dx lim

f (x)dx .

a

ε 0

a

 

Если конечный предел не существует или он бесконечный, то говорят, что

b

несобственный интеграл f (x)dx расходится.

a

2) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в точке x = a либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = a называют особой точкой функции f (x).

127

 

 

b

 

 

 

Определение 3. Если существует конечный предел

lim

 

f (x)dx

, то он

ε 0

 

 

 

a ε

 

 

называется несобственным интегралом второго рода

от функции

f

(x) на

b

отрезке [a;b] и обозначается символом f (x)dx .

a

 

 

 

 

b

При этом говорят, что

несобственный

 

интеграл f (x)dx

 

 

 

 

a

записывается равенство:

 

 

 

 

b

 

b

 

 

 

f (x)dx lim

 

f (x)dx

ε 0

 

.

a

a ε

 

Если конечный предел не существует или бесконечен, то

b

несобственный интеграл f (x)dx расходится.

a

сходится и

говорят, что

Замечание. Если функция f(x) имеет разрыв в некоторой точке x = c внутри отрезка [a;b], то по определению полагают:

b

 

c

 

b

c ε

 

 

b

 

 

 

f (x)dx

 

f (x)dx

 

ε 0

 

 

 

δ 0

 

 

 

 

 

 

f (x)dx lim

 

f (x)dx

lim

 

f (x)dx

a

 

a

 

c

a

 

 

c δ

 

при условии, что оба предела в правой части существуют, и и не зависят друг от друга. Этот интеграл также называют несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается символом:

b

f (x)dx .

a

Сходимость или расходимость такого интеграла зависит от существования или не существования конечного предела.

Примеры с решениями

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл xe 2 xdx

1

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xe 2xdx lim

b

 

u x

 

du dx

 

 

 

 

 

 

 

 

xe 2xdx

dV e

2x

dx

V

1

e

2x

1

b

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

1 b

 

 

 

 

 

 

 

 

e 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2x

 

2x

 

 

 

 

 

b

 

lim

 

 

e

 

 

e

 

lim

 

 

 

 

2

 

2

2e

2b

2

 

b

 

 

 

1

1

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

1 e 2x

4 1

128

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]