ГЛАВА-2-06.13

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1) Интеграл вида

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

2) Полученную правильную дробь

2 1

разложим на сумму простых дробей:

x 2 1

Ax A Bx 2

Bx Cx 2

x 3 x 2

x 2 (x 1)

x 2

x x 1

x 2 (x 1)

x2 1 (B C)x2 ( A B)x A

x 2		B C 1
x
		A B 0
x	0		A 1

Отсюда следует:

A 1

B 1

C 2

x 2 1 x3 x 2

1	1		2
					.
x 2		x		x 1

Значит, подынтегральную рациональную дробь можем представить в виде:

x 4 1

x 1

x3 x 2

x 2

x 1

3) Найдѐм интеграл:

x4 1

dx x

dx xdx dx

x3 x2

x x 1

x 1

x2 x 1 ln x 2ln x 1 C. 2 x

Ответ:

x4 1

2ln

x 1

x3 x2

x 3 4x 2 2x 1

Пример 2. Найти интеграл

x 4 x

Решение.

1) Разложим подынтегральную правильную дробь на сумму простых дробей

x3 4x2 2x 1

x3 4x2 2x 1 A

Cx D

x4 x

x x 1 x2 x 1

x 1

x2 x 1

x3 4x 2 2x 1 A x3 1 Bx x 2 x 1 Cx D x 2 x

x3 4x 2 2x 1 A B C x3 C D B x 2 B D x A

x3 A B C 1				A 1
x	2	C D B 4		B 2
x

x			B D 2	C 2
x	0		A 1
x			A 1	D 0

Отсюда следует:

x3 4x 2 2x 1 1

x x 1 x2 x 1

x 1

x 2 x 1

Найдем интеграл:

x3 4x2 2x 1

x 1

x x 1 x2 x 1

1 x2

xdx

2 ln

x 1

Последний интеграл находим по правилу, указанному в интегрировании дроби третьего типа. Выделяем полный квадрат в знаменателе

	2		x				1					1			2					3																x		1			t .
x										x												и выполняем замену
x										x												и выполняем замену
												2								4																		2
																																								1
																												x		1	t						t						dt
																																					t						dt
					xdx												x																							2
					xdx												x																							2

x 2 x 1																		2						3 dx					2
x 2 x 1																1		2						3 dx					2									2				3
											x																	dx dt									t
																																										4

																2							4
	1							2t				1					dt								1				3			1							2t
										dt																	ln t2							arctg
		2							3	dt		2									3						ln t2							arctg
		2					2		3			2				2					3				2				4				3							3
						t								t
						t			4					t							4
	1			ln x2					x 1						1				arctg						2x 1			C .

		2
		2															3										3
Подставляя найденный интеграл I в предыдущее выражение искомого
интеграла, найдѐм																										x2 x 1
	x3 4x2 2x 1																							x									2							2x 1
	x3 4x2 2x 1																							x									2							2x 1
													dx ln																						arctg									C .
								x4	x																		x 1 2
																																	3									3
																																	3									3

		Примеры для самостоятельного решения
1.	dx	2.	xdx

	x x 1 x 2		x 1 x 2 2

100

					x 1 3																																																					x3					1
3.										x dx																																					12.																						dx
3.						x 2				x dx																																					12.										x3						3						dx
														dx																																														x			2	3x 2
4.														dx																																																													dx

	x 2 x 2
																x 4																															13.							x x 2											2x 1
																x 4																															13.							x x 2											2x 1
5.								x 5							dx																																14.															x 2						dx
					x 3					1
					x 3					1																																															x 4						1
6.												dx																																			15.																					dx

					x2					2x 5																																															x 1 2													x 2		1
													dx																																																		7x 15

7.	3x 2 4x 7																																														16.																												dx

																																																									x			3					2x					2	5x
										4x 3																																															x								2x						5x
										4x 3																																																	xdx

8.	x3									x 2							2x dx																														17.

																																																									x			3			1
						x 4 2x 6																																																			x						1
						x 4 2x 6																																																												x 2 1
9.	x3									x 2							2x dx																														18.																			x 2 1											dx
9.	x3									x 2							2x dx																														18.										x			3					3x					2							dx
												8x 3 7																																													x								3x						3x 1
												8x 3 7																																													2x 5 2x 1
10. x 1 2x 1 dx																																															19.										2x 5 2x 1																dx
10. x 1 2x 1 dx																																															19.																x		3				1				dx
							4x 2 x 1																																																								x						1
11.							4x 2 x 1														dx																										20.										x 4 1												dx
											x		3			1					dx
													3																																												x			4					1
																																																									x								1
																																										Ответы
	1																					1												C ; 2.										1								1								1						x 2									2			C ;
	1																					1																						1																1															2
1.					ln				x			ln						x			1								ln	x 2																ln			x														ln
		2			ln				x			ln						x			1					2			ln	x 2														9		ln			x												9													3 x 2
		2																								2																		9																	9													3 x 2
		x 4 2
3.																ln				x	8ln								x 1			C ; 4.										ln	x					1							ln							x2 x 4


						2
						2																											x3			1			16									4x									1							32						x 1
				7															2x					1	C ; 5.															x3 1					C ; 6.																	arctg											C ;
				7								arctg							2x					1														ln


	16					15											15														3				3																					2															2
	16					15											15														3				3																					2															2
		ln					x 1							ln						3x 7								C;				8.			3									3						x2				x 2																19							2x 1		C ;



7.																																						ln		x							ln																										arctg



			x 1 2													10																			2						6			4							2x							1												2	7						7
																10																			2									4																										2	7						7


9.																3ln					x		2 ln							x2		x 2												arctg																		C ;
						2
																																							7
																																																						7
																																																						7

10. 2x2 6x ln																					x 1						6ln					2x 1					C ; 11.										2 ln						x 1							ln							x2				x 1					C ;
10. 2x2 6x ln																					x 1						6ln					2x 1					C ; 11.										2 ln						x 1							ln							x2				x 1					C ;

101

											1									2									1

						ln		x2 33 x 33																	2 ln					x 33																	1

		x																																				2											33 2x				C
12.																																												arctg													;
											2															2														1				arctg					5
											2															2														1									5

										3 33																3 33											3 36												36
										3 33																3 33											3 36												36
13.	2ln					x	ln						x 1							6				C ;		14.					1	ln		x 1								1			ln	x 1					1	arctgx C ;



																			x		1					4															4										2
		ln		x 1																	ln x2 1																																						x 1
											1																	C ; 16.									3					x2 2x 5									3ln				x	2arctg					C ;
15.																																						ln


	2											2x				2						4
																																				2																						2
																																				2																						2

		ln		x 1									ln	x2 x 1																			2x 1																				2					1
																										3
																										3
17.																														arctg										C ; 18.									ln	x		1								C ;

	3															6										3																												x 1				x 1 2
																																				3
																																				3
									ln		x 1								7 ln					x2 x 1																			2x
19.		2	x3								x 1																							3	arctg											1		C ;
																																		3												1

	3										3											6											3
	3										3											6											3								3
20.		x			ln			x 1							ln			x 1						arctgx C .



	2															2
		§ 6. Интегрирование тригонометрических выражений
1) Интеграл вида																	sin m x cosn xdx																	n,m Z
		а) Если n – чѐтное число и m – чѐтное, то подынтегральное выражение
преобразуют с помощью формул:
																			sin				2 x				1 cos 2x												cos2 x									1 cos 2x
																			sin				2 x													,			cos2 x
																										2										,													2
																										2																							2

б) Если одно из чисел m или n – нечѐтное, то выполняют замену: t = sin x, если n – нечѐтное;

t = cos x, если m – нечѐтное.

Эта замена приводит к интегрированию степенных интегралов или рациональных дробей.

в) Если оба числа m и n – нечѐтные, то интеграл берется как в случае замены:

	t = sin x, так и t = cos x.
2) Интегралы вида:
sin(mx) cos(nx)dx ;	sin(mx) sin(nx)dx ; cos(mx) cos(nx)dx

где n,m R;n m.

Такие интегралы находят после предварительного применения формул: sin(mx) cos(nx) 12 sin(m n)x sin(m n)x ,

102

sin(mx) sin(nx) 12 cos(m n)x cos(m n)x , cos(mx) cos(nx) 12 cos(m n)x cos(m n)x .

3) Интеграл вида: f (sin x;cos x)dx ,

где f(u;v) – рациональная функция двух переменных.

Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональной дроби с помощью замены:

t tg 2x ;

x 2arctg t dx

2dt

1 t2 ;

1 tg

sin x

2tg

cos x

1 t 2

1 t 2 ;

t 2 .

1 tg

4) Интегралы вида: f (sin 2 x;cos 2 x)dx ,

где f(u;v) – рациональная функция двух переменных.

Такие интегралы находят сведением к интегралу от рациональной дроби с помощью замены:

t tgx x arctg t dx

1 t2

sin 2 x

tg 2 x

cos2 x

1 t

;

tg x

x 1

5) Интегралы вида: tgm x d x ;

ctgm xdx , где m N(m 2) .

Такие интегралы находят после предварительного применения формул:

tg2 x

ctg2 x

cos2 x

sin2 x

или с помощью замены:

t tg x x arctg t dx

;

1 t 2

t ctg x x arcctg t dx

или

1 t 2 .

Примеры с решениями Пример 1. Вычислить интеграл sin2 x cos4 xdx

103

Решение.

sin2 x cos 4 xdx	1	sin2 2x cos 2 xdx	1		1 cos 4x	1 cos 2x	dx
sin2 x cos 4 xdx		sin2 2x cos 2 xdx					dx
	4		4	2		2

161 1 cos 4x cos 2x cos 4x cos 2x dx

161 dx 641 cos 4xd(4x) 321 cos 2xd(2x) 321 cos 2x cos 6x dx

161 x 641 sin 4x 321 sin 2x 641 sin 2x 1921 sin 6x C

161 x 641 sin 4x 641 sin 2x 1921 sin 6x C.

Ответ: sin2 x cos 4 xdx

sin 4x

sin 2x

sin 6x C.

192

Пример 2. Вычислить интеграл

sin6 x

cos x

Решение.

sin6 x

cos xdx

sin6 x d(sin x)

Замена

t sin x

cos x

cos

dt d sin x

t6dt

t 4

t 2 1 dt

t 1

1 t 2

2 1

5 3

sin 5 x

sin 3 x

sin x

sin x 1

sin x

Ответ:

sin 6 x

sin 5 x

sin 3 x

sin x 1

sin x

cos x

sin x 1

Пример 3. Вычислить интеграл sin 3x cos5xdx

Решение.

sin 3x cos 5xdx

sin(8x) sin( 2x) dx

sin 8xdx

sin 2xdx

cos 8x

cos 2x C.

Ответ: sin3x cos5xdx

cos8x

cos2x C.

104

Пример 4. Вычислить интеграл

sin3 x

Решение.

t tg

x 2arctg t

1 t 2

2dt

1 t 2

2dt

t 2

sin3 x

1 t 2

2t 3

sin x

1 t

1 2t 2 t

tdt

8t 2

8tg

Ответ:

C .

sin

3 x

8tg

Пример 5. Вычислить интеграл

sin2

x 4cos2 x

Решение.

Замена

1 t 2

t tg x x arctgt

sin2 x 4 cos2 x

t 2

;sin2 x

; cos2 x

1 t

t 2

tg x 2

t 2 4

2 2

t 2

tg x 2

Ответ:

tg x 2

sin 2 x 4 cos 2 x

tg x 2

Пример 6. Вычислить интеграл tg4 xdx

Решение.

105


	Замена				t	4
tg 4 xdx t tg x x arctg t					t			dt
tg 4 xdx t tg x x arctg t								dt
		dt		1	t		2
	dx			1	t



		1 t	2
		1 t

	2		1
t		1		dt
t		1	1 t 2	dt
			1 t 2

t 2dt dt		dt		t3	t arctgt C	1	tg3x tg x x C.
		t 2
	1		3			3

Ответ: tg4 xdx 13 tg3x tgx x C.

																Примеры для самостоятельного решения
1.	sin3 x cos2 xdx																16.	cos3 3xsin 2 3xdx
2.	sin				2						2						16.	cos3 3xsin 2 3xdx
2.	sin							2x cos 2xdx										cos2					x					x
									x						x		17.						x		sin	4		x		dx
	sin				3				x		5				x		17.								sin	4				dx
3.												cos				dx							3			3
3.								2				cos			2	dx							3			3
								2							2		18.	cos3 2xsin3 2xdx
4.	sin				5			2xdx									18.	cos3 2xsin3 2xdx
4.	sin							2xdx										cos5					x
	cos4 3xdx																19.						x		dx
5.
5.																							2
6.	sin 3xcos2xdx																20.	sin 4 4xdx
7.	sin					x			sin				x	dx			21.	cos				x			sin		x		dx
						3																					x
																				12						4
											4									12						4
8.	cos						x			cos3xdx							22.	sin 3x sin 2xdx
8.	cos						3			cos3xdx							22.	sin 3x sin 2xdx
							3										23.	cos5x cos10xdx
		cos					2		x								23.	cos5x cos10xdx
9.		cos							x			dx							sin 3 x
9.												dx							sin 3 x
			sin x														24.								dx
10.												sin xdx					24.		cos	4			x		dx
												sin xdx							cos				x

				cos2							x sin x cos x						25.					dx
11.				dx													25.		sin2 cos4 x
				dx															dx
				sin x													26.		dx

													dx						cos x

12.
																			1 sin x
				2sin x cosx 5															1 sin x

																	27.	1 cos x sin x dx
13.													dx				27.	1 cos x sin x dx
13.				5sin 2 x 3cos2 4													28.								dx
14. tg																	28.		4 sin				2		x	2
						4		3xdx											4 sin						x	9 cos x
						4
																		tg5			x
15. ctg3 2xdx																					x
																	29.							dx
																	29.			2				dx

106

30. ctg6 xdx

Ответы

																																																				sin				4				x												sin		8	x
1.		cos5 x												cos3 x							C ; 2.										x					1	sin 8x C ;												3.			sin							2				2		sin 6		x					sin			2			C ;
1.				5											3						C ; 2.								8							64	sin 8x C ;												3.				2										3		sin 6		2											C ;
				5											3														8							64																	2										3				2						4
4.					1		cos2x										1		cos3 2x											1				cos5			2x C ; 5.												3x					1				sin 6x								12x			C ;

					2																								10																				8																	96
					2												3												10																				8				12													96
6.					1			cos5x										1		cosx C ; 7.																6sin						x			6			sin		7x			C ; 8.											3		sin		10x						3		sin			8x	C ;
6.				10				cos5x												cosx C ; 7.																6sin								7				sin					C ; 8.										20			sin							16			sin				C ;
				10													2																				12							7					12														20						3				16				3
									x			cos x C																		tgx ln									tgx 1							C ; 11. ln														tg		x		C ;
9.	ln				tg																		; 10.


					2																x																																							2
					2																																																							2

																	2tg							1																																							tg 3 3x
																	2tg							1
12.						3		arctg													2							C ; 13.												1	arctg 3tgx C ; 14.																													1	tg3 x C ;
12.				3				arctg																				C ; 13.													arctg 3tgx C ; 14.																						9						3		tg3 x C ;
				3																	3																3																										9						3
15.											1									1		ln			sin 2x								C ;					16.					sin 3 3x								sin5 3x										C ;
											1									1																							sin 3 3x								sin5 3x
							4 sin 2 2x
							4 sin 2 2x										2																											9									15
17.					x							3	sin				4x						1			sin3						2x				C ; 18.								sin 4					2x						sin 6 2x									C ;
17.			16								64		sin				3									sin3										C ; 18.								8																				C ;
			16								64						3				16								3															8													12
19.			2sin							x					4	sin3						x				2	sin5								x	C ; 20.										3	x			1			sin 8x										1			sin16x C ;
19.			2sin												3	sin3					2					5	sin5							2		C ; 20.								8			x						sin 8x													sin16x C ;
				2											3						2					5								2										8					16								128

21. 32 cos 3x 3 cos 64 C ; 22. 12 sin x 101 sin 5x C ;

23.		1		sin15x			1		sin 5x C		;	24.				1				1			C ; 25.	tg 3 x		2tgx ctgx C ;
23.	30			sin15x		10			sin 5x C		;	24.			3cos3 x					cosx			C ; 25.		3	2tgx ctgx C ;
	30					10									3cos3 x					cosx					3
										tg	2		x
				x				C ; 27.		tg		2		tg		x		1				x	C ; 28.	1		2		C ;
				x												x		1				x		1		2
26.	ln		tg																ln		tg				arctg		tgx
26.	ln		tg		4						4					2			ln		tg	2		6	arctg		tgx
				2	4						4					2	2					2		6		3

29.	1		2		2ln	cos	x	C ; 30.		ctg 5 x		ctg 3 x	ctgx x C .
		x		x						ctg 5 x		ctg 3 x

	4		2			2			5		3
	2cos	2	cos	2

§7. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений

находят с помощью преобразований и замены, аналогичных преобразованиям и замене для нахождения интеграла от простой рациональной дроби III типа

(см. § 5).

107

2) К интегралам от функций, рационально зависимых от

тригонометрических функций, сводятся интегралы:

R(x,

x2 )dx – подстановкой,

x a sin t, dx a costdt

R(x,

x2 )dx – подстановкой

x a tg t, dx

cos

R(x,

, dx

asin t

a2 )dx – подстановкой x

cos t

3) Если подынтегральная функция содержит nax b , то надо выполнить замену t nax b .

x 1t

Примеры с решениями Пример 1. Вычислить интеграл:

			(x 5)dx					(x 5)dx


			6 4x x2					x 2 2 10
			6 4x x2					x 2 2 10

Замена

x 2 tx t 2

dx dt

(t 3)dt 10 t 2

tdt

d(10 t 2 )

3arcsin

10 t 2

3arcsin

x 2

10 t 2 3arcsin

6 4x x2

(x 5)dx

3arcsin

x 2

Ответ:

6 4x x2

4x x2

Пример 2. Вычислить интеграл:

x 2 sin t; t arcsin

4 x2

2 cos t 2 cos tdt

dx 2 cos t

2 sin t

4 x2 2 cos t

cos2

dt 2

cos2 t

sin tdt

cos2 t d(cos t)

sin t

sin

cos

108

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2019281.06 Кб3Геллнер Э.docx
#
08.09.2019125.95 Кб15Геморрагический синдром.doc
#
05.08.20193.97 Mб11география итоговый вариант.docx
#
13.02.201561.44 Кб12Гидросфера.doc
#
12.03.20161.9 Mб200ГЛАВА-1-06.13.pdf
#
12.03.20161.64 Mб70ГЛАВА-2-06.13.pdf
#
19.08.201937.03 Кб0ГО в ЧС вторая часть.docx
#
19.08.2019758.05 Кб1ГО В ЧС.docx
#
13.02.20158.48 Mб226ГО и ЧС.doc
#
11.09.201999.09 Кб0ГО от Мягкого.docx
#
13.02.2015238.75 Кб17ГО тема 1.docx