Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ГЛАВА-2-06.13

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

1 cos2 t

d cos t

d( cos t) 2 d(cos t)

1 cos

4 x2

1 cos t

2cos t

4 x

1 cos t

4 x2

Ответ:

4 x2

Пример 3. Вычислить интеграл:

Замена

3sin t

3tg t

cos2 t

;

x x2

cos t

sin t

dx 3sin t dt

cos t

cos2 t

t C

arccos

Ответ:

t C

arccos

x x2 9

Пример 4. Вычислить интеграл:

Замена

sin

8 cos3 t cos2 t dt

x 2tg t;t arctg

4 x2

cost

dt; 4 x2

cos2 t

cost

sin3 t

dt 8

sin2 t sin tdt

8 1 cos2 t d cost

cos4 t

d cost

cos

3cos

cost

109

4 x2 3

4 x2

4 4 x2 C.

3 8

4 x2 3

4 x2 C.

Ответ:

4 x2

Пример 5. Вычислить интеграл:

Замена

1 4

1 t

4 x t; x t 4 ;

4t3dt

dt; x t

t2 t

t 1

dt 4

4t 2ln(t2 1) 4 arctg t C 44x 2ln(x 1) 4 arctg 4x C

Ответ:

1 4

dx 4 4

x 2ln(

x 1) 4 arctg

4 x C

Пример 6. Вычислить интеграл:

Замена

x 1

;

(x 1)

1 x2

1 2t

т.к. 1 x 1, то

x 1

( 1

2t)2 C

1 2t

значит t 0 и

1 x

C 1

x 1

1 x

Ответ:

1 x

(x 1) 1 x2

Примеры для самостоятельного решения

2x 8

11.

1 x x2

(x 2) 4 x2

3x 1

12.

x2dx

x2 4x

2x 3

110

2 x 5

13.

x2 2x

(1 3 x ) x

x2 4x

14.

3 xdx

15.

xdx

1 3

3x 4

16 x

1 x2

16.

x 3 x

4 x2 dx

17.

16 x2 x2dx

4 x2 3

18.

4 x2 3

19.

x 1 x2

x2 25

10.

20.

x5dx

x2 4

8 x3

Ответы

1.21 x x2 9arcsin 2x 5 1 +C; 2. 3x2 4x 5+5ln x 2 x 2 2 1 +C;

3.x 2 x2 2x 3ln x 1 x2 2x C;

x 5

x 1

2x 2

x2 2x 2

C; 6. ln x

C; 7.

2arcsin

x2 1

(x2

4 x2

16 x2

(4 x2 )5

C; 9. ln

20x5

1 x2

10.

arcsin

C; 11.

2 x

+C;

2 x

x 3

12.

2x 3 C; 13.

6 6

x 6arctg 6 x C;

14. 0,4(x2 x 6) 3 x C; 15.

3x 4 3

ln 1 3 3x 4 C;

111

16. 2x 33x 6 6x 6ln 6x 1 C;

					x								x					3

17. 32arcsin								16 x2		2x				16		x	2	2	C;
																	2
					4								4

18.	1			x			C; 19.				x2 25				C;
	4											25x
				x2 4
				x2 4
						3
	2		8 x3
	2		8 x3						16 8 x3
20.												C.
20.		9							3			C.
		9							3

§8. Определѐнный интеграл

Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная неотрицательная функция y = f (x) (рисунок).

Определение 1. Сумма S f (M k ) xk называется интегральной суммой

k 1

функции f (x) на отрезке [a;b].

Определение 2. Предел интегральных сумм S функции f (x) на отрезке

[a;b] при n и max xk 0 называется определѐнным интегралом функции f(x) на отрезке [a;b], если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на части, ни от выбора точек Mk (k = 1,…, n) на каждой из частей. Следовательно, можно записать:

	n	b
Sкрив.тр.	lim f (Mk ) xr	f (x)dx .
	n k 1	a

При этом отрезок [a;b] называют отрезком интегрирования, «a» – нижним пределом интегрирования, «b» – верхним пределом.

112

Достаточное условие интегрируемости функции на отрезке [a;b]. Если

функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то определѐнный интеграл f (x)dx

существует, т.е. функция f (x) на отрезке [a;b] интегрируема.

Свойства определѐнного интеграла

a
1) f (x)dx 0
a
b	a
2) f (x)dx f (x)dx
a	b
b	b
3) k f (x)dx k f (x)dx
a	a
b	b	b
4) f1(x) f2 (x) dx f1(x)dx		f2 (x)dx
a	a	a
5) Если функция f(x) интегрируема на отрезках [a;c] и [c;b], то она
интегрируема и на отрезке [a;b], причѐм верно равенство:
	b	c	b
	f (x)dx	f (x)dx	f (x)dx
	a	a	c
при любом расположении точек a, b и c на оси Ox.
6) Если f (x) 0 при x [a;b], то
	b
	f (x)dx 0
	a
7) Если на отрезке [a;b] f (x) g (x), то
	b	b
	f (x)dx g(x)dx
	a	a

8) Теорема 1 (о среднем значении определѐнного интеграла). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке найдѐтся хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

f (x)dx f (c) (b a)

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема 2. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и (x) – какаялибо еѐ первообразная на отрезке [a;b]. Тогда определѐнный интеграл от функции f(x) по отрезку [a;b] равен разности значений функции (x) в точках b и a:

f (x)dx (b) (a)

113

Формула Ньютона–Лейбница является основной формулой интегрального исчисления, устанавливающей связь между определѐнным и неопределѐнным интегралами, и даѐт правило вычисления определѐнного интеграла.

Замечание. Формулу Ньютона–Лейбница часто записывают в виде:

b	b
b
f (x)dx (x)	,
a	a
	a

где используется обозначение:

(x) (b) (a) . a

Задача вычисления определѐнного интеграла сводится к нахождению первообразной непрерывной функции.

Методы интегрирования определѐнного интеграла

1) Замена переменной в определѐнном интеграле

Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и пусть функция x = (t) имеет непрерывную производную '(t) на отрезке [ ; ], область значений этой функции – отрезок [a;b], т.е. a (t) b для t [ ; ],

причѐм ( ) = a, ( ) = b.

Тогда справедливо равенство:

b	β

f (x)dx f (φ(t)) φ (t)dt .
a	α

2) Интегрирование по частям в определѐнном интеграле

Теорема 4. Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b]. Тогда справедливо равенство:

u(x) v'(x)dx u(x) v(x)

b	b
	b

	v(x) u (x)dx .
a	a
a

Примеры с решениями


			2
	Пример 1. Вычислить интеграл cos xdx
			0
	Решение.
π		π
		π

		2	(sin π sin 0) 1 0 1.

cosxdx sin x
2
0		0	2
0

114

													π

												2
		Ответ:										cos xdx 1 .
												0
																																		3						x
		Пример 2. Вычислить интеграл																																						x			dx

																																						2
																																		2			x				1
																																		2
		Решение.
3		x								1	3 d(x2						1)					1									3			1												1			10	1
																															3
					dx																						x2		1							(ln10 ln 5)											ln				ln 2 .
																								ln

2 x2											2
				1					2					x2 1								2									2			2										2 5 2
				1					2					x2 1								2									2			2										2 5 2
											3				x							1
		Ответ:													x					dx		1			ln 2 .
		Ответ:													2					dx		2			ln 2 .
											2 x 1											2
											2 x 1
																																				4				dx
		Пример 3. Вычислить интеграл																																		0				dx


																																					1						x
																																					1						x
		Решение.
																Замена

																			x t
																			x t


4																																	2								2			t 1 1
4		dx												2												x		t					2	2tdt							2			t 1 1
							x				t					,dx 2tdt,																							2									dt
																										0		0

0	1				x																												0 1 t								0				1 t
0	1				x																												0 1 t								0
																										4		2
																										4		2
	2					2			dt																				2
	2					2											2												2
2 dt 2												2t								2ln					1 t					4 0 2ln 3 2ln1 4 2ln 3 .

								1 t									0												0

	0					0
	0					0
											4					dx
		Ответ:														dx					4 2 ln 3 .
													1

											0							x
											0
																																				2
																																				2
		Пример 4. Вычислить интеграл x2																																								4 x2 dx
																																				0
		Решение.
																							Замена

																														2
														x			2sin t,										4 x					2cos t
																																												π
																																												π
2																														x			0		2									2
x2			4 x2 dx															dx 2costdt,												x			0		2					4sin2 t 2cos t 2cos tdt
x2			4 x2 dx															dx 2costdt,																	p					4sin2 t 2cos t 2cos tdt
0																														t			0		p									0
0																																												0
																																			2
																																			2

115

	π									π										π									π

2									2										2				1 cos4t					2			2
16 sin2 t cos2 tdt						4 sin							2 2tdt 4										1 cos4t				dt	2 dt 2			cos4tdt
16 sin2 t cos2 tdt						4 sin							2 2tdt 4														dt	2 dt 2			cos4tdt
0									0										0						2			0			0
0									0										0									0			0
	π			π
	π			π

	2	1		2			π									1	sin 2π sin 0 π.
2t			sin 4t		2						0
2t			sin 4t		2						0
	0	2		0			2									2
	0			0
			2
			2
	Ответ: x2 4 x2 dx π.
			0
																							e
	Пример 5. Вычислить интеграл x2 ln xdx
																						1
	Решение.
								du						dx										e
														dx
e			u ln x																x3							e3		e3		1 2e3 1
x2 ln xdx				2											3x						ln x
x2 ln xdx				2											3x						ln x
1			dv x			dx				v			x						3					1		3 9 9					9
										v			3											1


			e									2e3 1
	Ответ: x2 ln xdx																	.
	Ответ: x2 ln xdx												9					.
			1										9
			1

																						2
	Пример 6. Вычислить интеграл x																								sin xdx
																						0

Решение.

π
		u x	du dx
2				x cos x

x sin xdx
0	dV sin xdx		V cos x

ππ

2	2
	cos xdx
0	0

				π

π	cos	π	0 cos0 sin x	2	π	0 0 1 sin	π	sin 0 0 0 1 0 1.
2	cos	2	0 cos0 sin x	0	2	0 0 1 sin	2	sin 0 0 0 1 0 1.
2		2			2		2

Ответ: x sin xdx 1.

116

	1			dx
1.				dx

			(2x 1)3
	0
	2		x 3
2.						dx
2.			x2	4		dx
	0
	2			dx
3.				dx

		x2		5x 4
	1
	3			dx
7.				dx


		1			4x 3
	1	1			4x 3
	1

6				x 1
8.				x 1				dx

	x				x		2
2	x				x		2
2
1		x 2
9.		x 2					dx

			1 x
0			1 x
0
	1
	1					xdx
10.						xdx

					x 1
	0				x 1
	0
	1				xdx
11.					xdx

				1 x2
	0			1 x2

12. xx2 9dx

5xdx

01 3x

ln 3 dx

14. ln 2 ex e x

15. ln 2 ex 1dx

1x2dx

16.0 (x 1)4

e
	4 1 ln x
17.			dx

1		x

01 ex

18.ln 3 1 ex dx

Примеры для самостоятельного решения

4. sin2 2xdx

	0			dx
5.				dx

			4x2			9
	1
	3	3			dx
6.					dx

				x2		9
		3
		3
		3				x
20.						x	dx

					6 x
		0			6 x
		0
		e
21. ln xdx
		1

	1
22.		x arctg xdx
	0
	3
23.		2	x cos xdx
	0
	1
24.		arcsin xdx
	0
	1
25.		xe xdx
	0

26.		ex sin xdx
	0
	2
27.		x ln(x 1)dx
	0

	12
28.		(x 3)sin 6xdx
	0

	2			x
29.			x cos	x	dx
29.			x cos		dx
			2
	2

30.		xsin x cos xdx

		e
31.		(1 ln x)2 dx
	1

117

0dx

19.11 3x 1

Ответы

1.92 ; 2. ln 2+ 38 ; 3. 13 ln 54 ; 4. 8 ; 5. 121 ln 5; 6. 36 ; 7. 1 ln 2;

8.4+2 arctg 2; 9. 2 23 ; 10. ln 4 1; 11. 1; 12. 32 23 ; 13. 4; 14. 12 ln 32 ;

15. 2 ; 16.		1				8				4			4					3
		1		; 17.		8	4	2		4	; 18. ln		4		; 19. ln8			3	; 20. 6ln 2 3; 21. 1;
				; 17.			4	2			; 18. ln				; 19. ln8				; 20. 6ln 2 3; 21. 1;
2		24	5							5			3					2
22. 2	; 23.		3		1; 24.				2			; 25.		e 2		; 26.	e		1	; 27.	3	ln 3;	28.	19	;
22. 2	; 23.				1; 24.							; 25.				; 26.				; 27.		ln 3;	28.		;
4			2							2					e			2			2			39
29. 0; 30.		; 31. 2e 1.
	2

§9. Приложения определенного интеграла

Понятие определенного интеграла вследствие его абстрактности широко применяется при вычислении различных геометрических и физических величин.

Для вычисления некоторой величины с помощью определенного интеграла можно использовать следующие общие схемы решения.

					Схема I
1.	Разбиваем величину U на n слагаемых U k					:
						n
				U U1 ... Uk ... Un		Uk
						k 1
2.	Выражаем приближенно каждое слагаемое U k в виде произведения:
					Uk f (xk ) xk ,
где f (xk )		–	данная или определяемая из			условий задачи функция,
x0 a, x1,..., xn		b – точка интервала a;b , разбивающие его на n равных частей
с длинами x			x	b a	.
с длинами x			x		.
		k		n
				n
3.	Представляем приближенно значение U в виде интегральной суммы:

U f (xk ) xk

k 1

118

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2019281.06 Кб3Геллнер Э.docx
#
08.09.2019125.95 Кб15Геморрагический синдром.doc
#
05.08.20193.97 Mб11география итоговый вариант.docx
#
13.02.201561.44 Кб12Гидросфера.doc
#
12.03.20161.9 Mб200ГЛАВА-1-06.13.pdf
#
12.03.20161.64 Mб70ГЛАВА-2-06.13.pdf
#
19.08.201937.03 Кб0ГО в ЧС вторая часть.docx
#
19.08.2019758.05 Кб1ГО В ЧС.docx
#
13.02.20158.48 Mб225ГО и ЧС.doc
#
11.09.201999.09 Кб0ГО от Мягкого.docx
#
13.02.2015238.75 Кб17ГО тема 1.docx