Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ГЛАВА-1-06.13

.pdf
Скачиваний:
200
Добавлен:
12.03.2016
Размер:
1.9 Mб
Скачать

Ответ: y'(x) 3x2 20 x3

2

 

 

2

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

x8

x3 .

 

3

 

 

 

 

3x

153 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

1

 

5x3

arcctg x

Пример 2. Найти производную функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в точке x ( ;0) (0; ).

Решение. Воспользуемся правилами дифференцирования (2–4), получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

y '(x)

 

 

 

 

 

 

 

5x

 

arcctg x

 

 

 

 

 

 

5(x

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x2

 

3 x2

 

 

 

arcctg x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 )' 5[( x3 )' arcctg x (arcctg x)' x3 ]

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

5

 

 

3x2 arcctgx x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

15x2 arcctgx

 

5x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y'(x)

 

2

 

 

 

 

15x2 arcctgx

 

5x3

.

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры для самостоятельного решения

4.1.y 3x5 2x4 7x3 x2 3x 4; y'(x) ?

4.2.y 5x6 7x5 11x4 15 x3 2x2 x 5; y'(x) ?

4.3.y'(x) ?

4.4.y'(x) ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4x

1, при x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

4.5. Найти

f '(2);

f '(2) , если

f (x)

 

 

 

2

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2, при x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

4x x

 

 

Сделать чертеж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

, при x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

4.6. Найти

f

 

'(1); f

 

'(1)

, если

f (x)

 

 

 

 

2

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3, при x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

6x 2x

 

Сделать чертеж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg x, при x 0

 

 

4.7. Найти

f '(0);

f '(0) , если

f (x)

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x, при x 0

 

Сделать чертеж.

21

 

 

 

2 3x2

 

 

4.8.

y

 

 

 

 

 

; y'(x) ?

2

3x

2

 

 

 

 

 

 

 

4.9.

y

arcsin x

2

; y'(x) ?

2

 

 

 

 

2 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

4.10.

y

 

x arccos x; y'(x) ?

 

 

 

 

 

4.11.

y x

 

x (3 ln x 2); y'(x) ?

4.12.y x3 2x ; y'(x) ?

4.13.y ln x ; y'(x) ?

4.14.

y

sin x cosx

;

y'(x) ?

sin x cosx

 

 

 

 

4.15. Тело массой 5 кг движется по прямой по закону s 2 t t 2 , где

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

mv

 

 

t – время (с), s – путь (см). Вычислить кинетическую энергию

 

 

 

2

 

этого

 

 

 

 

 

 

тела в конце 3-й секунды.

 

 

 

 

 

 

 

4.16. Дан закон прямолинейного движения точки: s

gt 2

, где

t – время

2

 

в секундах, g 9,8 . Найти скорость в конце 2-й и в конце 5-й секунды.

4.17.Вывести формулу производной произведения трех дифференцируемых функций.

4.18.y x(x 1)(x 2) (x 1000); y'(1) ?

4.19. Под каким углом пересекаются кривые

 

y

x2

 

и

y 4

 

x2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4.20. Составить уравнение той нормали к кривой

 

 

y

 

3x 5

,

которая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

перпендикулярна прямой

y 2x 0 . Сделать чертеж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1.

 

 

 

4.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y'(x) 15 x4 8x3 21x

2 2x 3 ;

y'(x)

3

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

x

3

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2.

 

 

 

24 x

 

 

 

 

 

2x6 x5

y' (x) 30x5

35x4 44x3 45x2 4x 1

f

 

'(2) f

 

'(2) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

4.6.

f '(1) 3;

 

 

f '(1) 2

 

 

 

 

 

 

4.3. y'(1) 7

 

4.7.

f '(0)

 

f

'(0) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y'(x)

 

 

 

 

 

 

24 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

2

)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

4.9. y'(x)

x 1 x2 arcsinx

x2 1 x2

4.10.

y'(x) arccosx

x

 

 

 

 

 

1 x2

 

2 x

4.11.y'(x) 92 x ln x

4.12.y'(x) x2 2x (3 x ln 2)

4.13.y'(x) 1x

4.14. y'(x)

2

 

 

 

(sin x cos x)

2

 

 

кг см2

4.15. 62,5 с2

4.16. 19,6мс; 49 мс

4.17.

(u v w)' u' v w u v' w u v w'

4.18. y'(1) 999!

3 4.19. arctg 4

4.20. y 2x 9 42

§5. Производная сложной функции

Если функция

u(x)

дифференцируема в точке

x ,

а функция f (x)

дифференцируема

в соответствующей

точке

u ,

то

сложная функция

y(x) f (u(x)) дифференцируема в точке

x и ее производная вычисляется по

формуле:

 

 

 

 

 

 

y'(x) [ f (u(x))]' f '(u) u'(x) .

 

 

 

 

 

 

Примеры с решениями

 

 

Пример 1. Найти производную функции y (3 5x 2x4 )5 .

Решение. Обозначим

(3 5x 2x4 )5 u(x) ,

тогда

y u5 f (u) . По

правилу дифференцирования сложной функции получаем

 

y'(x) [ f (u(x))]' f '(u) u'(x) (u5 )' (3 5x 2x4 )'

5u 4 ( 5 8x3 )' 5(3 5x 2x4 )4 ( 5 8x3 )

5(8x3 5)(3 5x 2x4 )4

Ответ: y '(x) 5(8x3 5)(3 5x 2x4 )4 .

Пример 2. Найти производную функции y cos x7 . Решение. Здесь y cosu , где u x7

y'(x) (cos u)' u' sin u(x7 )' sin x7 7x6 7x6 sin x7 Ответ: y'(x) 7x6 sin x7

Пример 3. Найти производную функции y cos7 x . Решение. Здесь y u 7 , где u cos x

y'(x) (u 7 )' u' 7u 7 (cos x)' 7 cos6 x( sin x) 7 cos6 x sin x Ответ y'(x) 7 cos6 x sin x

23

Пример 4. Найти производную функции y xctgx где x 0

Решение. Перед нами показательно-степенная функция, т.е. функция вида

(x) 0 .

Для ее дифференцирования можно воспользоваться несколькими способами. Один из них мы рассмотрим сейчас, другой будет разобран в параграфе о дифференцировании функций, заданных неявно. Итак, преобразуя заданную показательно-степенную функцию с помощью основного логарифмического тождества, приведем ее к виду показательной функции:

y xctgx eln xctgx ectgx ln x

Получили сложную функцию y eu , где u ctgx ln x

y '(x) (eu )u ' eu (ctgx ln x) '

 

здесь

 

 

 

 

 

 

eu xctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

ctgx

 

1

 

ln x ctgx

1

 

x

ctgx

 

ctgx

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

x

x

 

x

sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

ctgx

 

ln x

 

Ответ:

y'(x) xctgx

 

 

 

 

 

 

 

x

sin

2

 

 

 

 

 

 

x

Примеры для самостоятельного решения

5.1.y (3x3 5)4 ; y'(x) ?

5.2.y (2 4x5 )3 ; y'(x), y'(1) ?

5.3.y ctg2 32x ; y'(x) ?

5.4.y tg5 43x ; y'(x) ?

5.5.y sin x4 ; y'(x) ?

5.6.y tgx5 ; y'(x) ?

5.7.

y

11

 

 

 

; y'(x) ?

 

 

 

arcsin2

x

 

y

 

3

 

 

; y'(x) ?

5.8.

 

 

 

 

 

arcctg

3

 

 

 

 

 

x

 

 

2 sin

x

 

 

 

 

 

 

 

5.9.

y

2

 

; y'(x), y'(0) ?

 

 

 

cos

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

5.10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 cos

x

 

 

 

 

 

 

 

π

 

y

 

2

 

; y'(x), y'(

) ?

sin

x

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.11.

y (2x 3)5 x ; y'(x) ?

5.12.

y (sin 4 x)arcctg4 x ;

 

y'(x) ?

 

 

ln

 

x4 sin 2 3x

 

; y'(x) ?

5.13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg5 4x cos3 5x

 

 

 

 

 

 

5.14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 3)7 (2 3x)5

 

y'(x) ?

ln

 

;

 

(6x 1)4 arcsin2 2x

 

5.15.ln (x x2 a); y'(x) ?

5.16.ln (x x2 5); y'(x) ?

5.17.

y

1

ln

x a

;

y '(x) ?

2a

x a

 

 

 

 

 

24

 

 

 

y

 

1

 

 

ln

x 2

;

 

 

 

y '(x) ?

 

 

 

 

 

 

5.22.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.18.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y ex 1 e2x

arcsinex ; y'(x) ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.19.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.23.

y log

2

 

2; y '(x) ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y ex arcctgex

 

ln

 

 

 

1 e2x ;

y'(x) ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.24.

y log

3 3;

y '(x) ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.20.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.25.

y xx3 ;

 

где x 0, y '(x) ?

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

tg

2

 

 

 

 

x ln cos

x;

y'(x) ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y xcos

 

;

где x 0, y '(x) ?

2

 

 

 

 

 

 

 

5.26.

x

5.21.

 

 

y x2

 

ex2

 

ln x;

y'(x) ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.27. Составить уравнение той касательной к кривой

y 2x , которая

перпендикулярна прямой

y 3x . Сделать чертеж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.28. Зависимость между количеством

x(t) вещества, получаемого в некоторой

химической реакции,

 

 

 

временем

t выражается уравнением: x(t) a(1 e kx ) .

Определить скорость реакции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.29.

 

y 2sh

x log

4

arcctg

 

 

 

; y'(x) ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.1. y'(x) 36 x2 (3x3

5)3 ; 5.2. y'(x) 60 x4 (2 4x5 )2 ;

y'(1) 240 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 cos

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y' (x)

2

 

 

 

 

 

3ctg

cosec2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20sin

 

4 4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y'(x)

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

20

tg4

4x

sec2

4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

3sin

3 4x

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.5.

 

y'(x) 4x3 cos x4 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.6.

y'(x)

 

 

 

 

 

5x4

 

 

 

 

 

 

5x4sec3 x5 ; 5.7.

y'(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

x

1 x 2

 

arcsin 3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2sin

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

5.8.

 

y'(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; 5.9.

y'(x)

 

 

 

 

2

 

 

,

y'(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2

;

 

 

 

(1 x2 ) arcctg 4 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

1 2cos

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.10.

y'(x)

 

 

 

, y'(

)

(1 3)

;

3sin

2

x

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(2x 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

5 3

 

 

 

 

 

y'(x) 5(2x 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.11.

 

 

 

 

 

 

2

 

x

2x 3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4ln sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y'(x) 4(sin 4

x)arcctg4 x ctgx arcctg4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

16 x2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.13.

y'(x)

 

4

6ctg3x

 

 

20

 

 

 

 

 

 

15

 

tg5x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

sin 8x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y'(x)

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(x

3)

 

2(2 3x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4x 2 arcsin 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.15.

y'(x)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

; 5.16. y'(x)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

; 5.17.

y'(x)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

a

2

 

 

 

 

 

 

x2

a

 

 

 

 

 

x2

5

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg3

 

 

 

 

 

 

 

 

5.18.

y'(x)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

; 5.19. y'(x) e x arctge x ; 5.20.

 

y'(x)

 

x

;

 

 

 

x

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.21. y'(x) x ex 2 (2x2 ln x 2ln x 1) ; 5.22. y'(x)

 

 

 

 

2e3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.23.

y'(x)

 

 

 

 

 

ln 2

 

; 5.24.

 

 

y'(x)

 

 

ln 3

 

 

 

 

 

 

; 5.25. y'(x) xx3 2 (3ln x 1) ;

2x ln 2 x

 

3x ln 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2 (ln x sin

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.26. y'(x) xcos

 

 

 

 

 

x cos

)

 

 

 

 

 

 

2x 6y 9 0 ;5.28. v ake kt ;

 

 

x

; 5.27.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.29.

y'(x) 2sh

x ln 2 ch

x

 

 

log

4

arcctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x

 

 

3

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sh x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 4

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sh x

 

 

 

ch

 

x ln

 

arcctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

x

 

 

 

 

(9x

4)arcctg

 

 

 

 

ln 4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

y 'x .

§6. Дифференцирование функций, заданных неявно

Если у есть функция от х и при этом все соответствующие друг другу

действительные значения х

и у удовлетворяют

уравнению

F(x, y) 0 , то

говорят, что функция y(x)

задана уравнением

F(x, y) 0 неявно. Для

нахождения производной

функции y(x), заданной неявно

уравнением

F (x, y) 0 , достаточно продифференцировать по x обе части этого уравнения,

рассматривая у как функцию от x, и из полученного уравнения выразить

Примеры с решениями

Пример 1. Функция y y(x) задана неявно уравнением x2 2xy y3 0.

Найти y 'x .

Решение. Поскольку у является функцией от х, будем рассматривать y³ как сложную функцию от х, следовательно, ( y3 ) ' 3y2 y ' . Продифференцировав по х обе части заданного уравнения, получим:

 

 

2x 2 ( y xy ') 3y2 y ' 0,

 

 

 

y ' (9 y2 2x) 2 ( y x),

 

 

 

 

y '

2 ( y x)

 

 

 

 

 

 

9 y2 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y '

2 ( y x)

 

 

 

 

Ответ:

9 y2 2x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg

x

Пример 2. Найти производную функции y 4

x 2

2 .

Решение. В данном примере при нахождении производной удобно от явного задания функции перейти к неявному. Прологарифмируем обе части равенства, задающего функцию (при этом обычно используют натуральный логарифм):

x

ln y ln 4x 2ctg 3

Используя свойства логарифмов, позволяющее показатель степени вынести множителем за знак логарифма, получим неявно заданную функцию у в форме, удобной для дифференцирования:

27

ln y 14 ctg 3x ln(x 2)

Продифференцируем по х обе части полученного уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

y '

1

 

 

 

 

1

 

 

ln(x 2)

ctg

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

y

4

 

2 x

3

3

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg

x

Выразим y′, домножив обе части этого уравнения на y

4

x 2

3

 

 

 

 

x y ' 4x 2ctg 3

 

 

x

 

 

 

 

ctg

3

 

ln(x 2)

 

 

 

 

2 x

 

x 2

3sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

x y ' 4 x 2 ctg 3

Ответ:

 

 

x

 

 

 

 

 

ctg

3

 

ln(x 2)

 

 

 

 

2 x

 

x 2

 

 

 

 

 

3sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Производную от логарифма функции называют логарифмической производной. Пример 3. Найти производную функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

(x 4)2 (x2 2)3 (3 2x)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 (5x 1)2 3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Отметим, что данная функция на своей области определения

(D( y) (

1

; )

 

 

принимает

положительные

 

 

 

 

 

 

 

значения.

 

 

 

Воспользуемся

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

логарифмической производной и свойствами логарифмов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln y ln

(x 4)2 (x2 2)3 (3 2x)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 (5x 1)2 3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln y 2ln

 

x 4

 

 

3ln(x2

2) 4ln

 

3 2x

 

 

 

2

ln(5x 1)

 

1

ln(3x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

1

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

y '

 

 

2x

 

( 2)

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

3,

 

 

 

x 4

 

x2 2

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3 5x 1

 

 

2 3x 1

 

из этого равенства найдѐм y ,

умножив обе его части на

 

 

 

 

 

 

 

 

28

y

(x 4)2

(x2

2)3

(3 2x)4

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 (5x 1)2

 

3x 1

 

 

(x 4)2 (x2 2)3 (3 2x)4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

6x

 

 

 

8

 

 

 

 

 

10

 

 

 

3

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

x

2

 

2

2x 3

 

 

 

 

2(3x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 (5x 1)2

3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

3(5x 1)

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 4)2 (x2

2)3

(3 2x)4

 

2

 

 

 

 

6x

 

 

 

 

 

8

 

 

 

10

 

 

 

 

3

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

2

 

2x 3

 

3(5x 1)

2(3x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 (5x 1)2

3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть у есть функция от аргумента x:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

Задавая

значения

x(x D) ,

 

по

 

 

формуле

(1)

будем

получать

соответствующие значения

y( y E) .

Можно, однако, считать у независимой

переменной, а x – зависимой, задавать значения у и вычислять соответствующие им значения x. И если каждому значению у будет соответствовать единственное значение x, то равенство (1) можно рассматривать как неявное задание функции х от аргумента у. Такая функция называется обратной по отношению к данной функции у. Если уравнение (1) разрешить относительно х, получим явное выражение обратной функции, еѐ

обозначают x f 1 ( y).

 

 

 

 

 

И для всех допустимых значений у будет выполняться равенство

 

 

 

 

 

f ( f 1 ( y)) y,

(2)

которое можно рассматривать как уравнение, задающее функцию

x f 1 ( y)

неявно.

 

 

 

 

 

 

 

 

Для вычисления

производной

функции

x f 1 ( y) продифференцируем

уравнение (2) по у:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f '(x) x '( y) 1,

 

Откуда x '( y)

1

 

или x '( y)

1

 

, если

y 'x 0.

 

f '(x)

y '

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

29

Пример 4. Вывести формулу производной функции y arcsin x

 

Решение. Рассмотрим функцию y arcsin x , где x 1;1 ,

 

 

 

 

 

 

y

2

;

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратная к ней функция имеет вид x sin y , причѐм x '( y) cos y 0 при

 

y

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

. Воспользовавшись правилом дифференцирования обратной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции, получим

y '

 

 

 

 

1

 

 

1

.

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x 'y

cos y

 

 

 

 

Поскольку cos y > 0 для всех y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

, то, учитывая, что x sin y ,

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 , при x 1;1 . Следовательно:

получаем cos y 1 sin2

y

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 'x

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

т.е. (arcsin x) '

1

 

 

, где

x 1;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: (arcsin x) '

 

 

 

1

 

, где x 1;1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5. Вывести формулу производной функции, обратной к функции

y sh x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Дана

 

 

 

функция

y sh x

ex

e x

, еѐ производная

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y ' (sh x)' ch x

ex e x

0 , для всех

 

 

x R ,следовательно, функция y sh x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на всей действительной оси монотонно возрастает и имеет обратную функцию, обозначаемую arsh x .

Уравнение x sh y задаѐт эту обратную функцию неявным образом.

 

, откуда

 

 

1

.

 

 

Продифференцируем обе части по х: 1 ch y yx

yx

ch y

 

 

 

 

 

30

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]