ГЛАВА-1-06.13
.pdfОтвет: y'(x) 3x2 20 x3 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
x8 |
x3 . |
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
3x |
153 x |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
5x3 |
arcctg x |
|
Пример 2. Найти производную функции |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
x2 |
||||||
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
в точке x ( ;0) (0; ).
Решение. Воспользуемся правилами дифференцирования (2–4), получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
y '(x) |
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
arcctg x |
|
|
|
|
|
|
5(x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
x2 |
|
3 x2 |
|
|
|
arcctg x) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 )' 5[( x3 )' arcctg x (arcctg x)' x3 ] |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
3 |
5 |
|
|
3x2 arcctgx x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
15x2 arcctgx |
|
5x3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y'(x) |
|
2 |
|
|
|
|
15x2 arcctgx |
|
5x3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры для самостоятельного решения
4.1.y 3x5 2x4 7x3 x2 3x 4; y'(x) ?
4.2.y 5x6 7x5 11x4 15 x3 2x2 x 5; y'(x) ?
4.3.y'(x) ?
4.4.y'(x) ?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4x |
1, при x 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||
4.5. Найти |
f '(2); |
f '(2) , если |
f (x) |
|
|
|
2 |
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, при x 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4x x |
|
|
||||||
Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
, при x 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
4.6. Найти |
f |
|
'(1); f |
|
'(1) |
, если |
f (x) |
|
|
|
|
2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, при x 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6x 2x |
|
|||||||
Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x, при x 0 |
|
|
||||||
4.7. Найти |
f '(0); |
f '(0) , если |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x, при x 0 |
|
Сделать чертеж.
21
|
|
|
2 3x2 |
|
|
|||||
4.8. |
y |
|
|
|
|
|
; y'(x) ? |
|||
2 |
3x |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.9. |
y |
arcsin x |
2 |
; y'(x) ? |
||||||
2 |
|
|||||||||
|
|
|
2 3x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
4.10. |
y |
|
x arccos x; y'(x) ? |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
4.11. |
y x |
|
x (3 ln x 2); y'(x) ? |
4.12.y x3 2x ; y'(x) ?
4.13.y ln x ; y'(x) ?
4.14. |
y |
sin x cosx |
; |
y'(x) ? |
|
sin x cosx |
|||||
|
|
|
|
||
4.15. Тело массой 5 кг движется по прямой по закону s 2 t t 2 , где |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
mv |
|
|
|
t – время (с), s – путь (см). Вычислить кинетическую энергию |
|
|
|||||
|
2 |
|
этого |
||||
|
|
|
|
|
|
||
тела в конце 3-й секунды. |
|
|
|
|
|
|
|
4.16. Дан закон прямолинейного движения точки: s |
gt 2 |
, где |
t – время |
||||
2 |
|
в секундах, g 9,8 . Найти скорость в конце 2-й и в конце 5-й секунды.
4.17.Вывести формулу производной произведения трех дифференцируемых функций.
4.18.y x(x 1)(x 2) (x 1000); y'(1) ?
4.19. Под каким углом пересекаются кривые |
|
y |
x2 |
|
и |
y 4 |
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
4.20. Составить уравнение той нормали к кривой |
|
|
y |
|
3x 5 |
, |
которая |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 3 |
||||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярна прямой |
y 2x 0 . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.1. |
|
|
|
4.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y'(x) 15 x4 8x3 21x |
2 2x 3 ; |
y'(x) |
3 |
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
3 |
|
x |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4.2. |
|
|
|
24 x |
|
|
|
|
|
2x6 x5 |
||||||||||||||||||||||
y' (x) 30x5 |
35x4 44x3 45x2 4x 1 |
f |
|
'(2) f |
|
'(2) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
13 |
|
4.6. |
f '(1) 3; |
|
|
f '(1) 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4.3. y'(1) 7 |
|
4.7. |
f '(0) |
|
f |
'(0) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y'(x) |
|
|
|
|
|
|
24 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
4.9. y'(x)
x 1 x2 arcsinx
x2 1 x2
4.10. |
y'(x) arccosx |
x |
||||
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
2 x |
4.11.y'(x) 92 x ln x
4.12.y'(x) x2 2x (3 x ln 2)
4.13.y'(x) 1x
4.14. y'(x) |
2 |
|
|
|
|
(sin x cos x) |
2 |
|
|
|
кг см2
4.15. 62,5 с2
4.16. 19,6мс; 49 мс
4.17.
(u v w)' u' v w u v' w u v w'
4.18. y'(1) 999!
3 4.19. arctg 4
4.20. y 2x 9 42
§5. Производная сложной функции
Если функция |
u(x) |
дифференцируема в точке |
x , |
а функция f (x) |
||
дифференцируема |
в соответствующей |
точке |
u , |
то |
сложная функция |
|
y(x) f (u(x)) дифференцируема в точке |
x и ее производная вычисляется по |
|||||
формуле: |
|
|
|
|
|
|
y'(x) [ f (u(x))]' f '(u) u'(x) . |
|
|
|
|
||
|
|
Примеры с решениями |
|
|
||
Пример 1. Найти производную функции y (3 5x 2x4 )5 . |
||||||
Решение. Обозначим |
(3 5x 2x4 )5 u(x) , |
тогда |
y u5 f (u) . По |
|||
правилу дифференцирования сложной функции получаем |
|
y'(x) [ f (u(x))]' f '(u) u'(x) (u5 )' (3 5x 2x4 )'
5u 4 ( 5 8x3 )' 5(3 5x 2x4 )4 ( 5 8x3 )
5(8x3 5)(3 5x 2x4 )4
Ответ: y '(x) 5(8x3 5)(3 5x 2x4 )4 .
Пример 2. Найти производную функции y cos x7 . Решение. Здесь y cosu , где u x7
y'(x) (cos u)' u' sin u(x7 )' sin x7 7x6 7x6 sin x7 Ответ: y'(x) 7x6 sin x7
Пример 3. Найти производную функции y cos7 x . Решение. Здесь y u 7 , где u cos x
y'(x) (u 7 )' u' 7u 7 (cos x)' 7 cos6 x( sin x) 7 cos6 x sin x Ответ y'(x) 7 cos6 x sin x
23
Пример 4. Найти производную функции y xctgx где x 0
Решение. Перед нами показательно-степенная функция, т.е. функция вида
(x) 0 .
Для ее дифференцирования можно воспользоваться несколькими способами. Один из них мы рассмотрим сейчас, другой будет разобран в параграфе о дифференцировании функций, заданных неявно. Итак, преобразуя заданную показательно-степенную функцию с помощью основного логарифмического тождества, приведем ее к виду показательной функции:
y xctgx eln xctgx ectgx ln x
Получили сложную функцию y eu , где u ctgx ln x
y '(x) (eu )u ' eu (ctgx ln x) ' |
|
здесь |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
eu xctgx |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
ctgx |
|
1 |
|
ln x ctgx |
1 |
|
x |
ctgx |
|
ctgx |
|
ln x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sin |
2 |
x |
x |
|
x |
sin |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
ctgx |
|
ln x |
|
||
Ответ: |
y'(x) xctgx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
sin |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
Примеры для самостоятельного решения
5.1.y (3x3 5)4 ; y'(x) ?
5.2.y (2 4x5 )3 ; y'(x), y'(1) ?
5.3.y ctg2 32x ; y'(x) ?
5.4.y tg5 43x ; y'(x) ?
5.5.y sin x4 ; y'(x) ?
5.6.y tgx5 ; y'(x) ?
5.7. |
y |
11 |
|
|
|
; y'(x) ? |
|
|
|
|
|||||
arcsin2 |
x |
||||||
|
y |
|
3 |
|
|
; y'(x) ? |
|
5.8. |
|
|
|
|
|||
|
arcctg |
3 |
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
2 sin |
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
5.9. |
y |
2 |
|
; y'(x), y'(0) ? |
|||
|
|
||||||
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
5.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos |
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
π |
|
||||
y |
|
2 |
|
; y'(x), y'( |
) ? |
|||
sin |
x |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.11. |
y (2x 3)5 x ; y'(x) ? |
||||||||||
5.12. |
y (sin 4 x)arcctg4 x ; |
|
y'(x) ? |
||||||||
|
|
ln |
|
x4 sin 2 3x |
|
; y'(x) ? |
|||||
5.13. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
tg5 4x cos3 5x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
5.14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(x 3)7 (2 3x)5 |
|
y'(x) ? |
|||||||
ln |
|
; |
|
||||||||
(6x 1)4 arcsin2 2x |
|
5.15.ln (x x2 a); y'(x) ?
5.16.ln (x x2 5); y'(x) ?
5.17. |
y |
1 |
ln |
x a |
; |
y '(x) ? |
|
2a |
x a |
||||||
|
|
|
|
|
24
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
ln |
x 2 |
; |
|
|
|
y '(x) ? |
|
|
|
|
|
|
5.22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5.18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ex 1 e2x |
arcsinex ; y'(x) ? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.23. |
y log |
2 |
|
2; y '(x) ? |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
y ex arcctgex |
|
ln |
|
|
|
1 e2x ; |
y'(x) ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5.24. |
y log |
3 3; |
y '(x) ? |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.25. |
y xx3 ; |
|
где x 0, y '(x) ? |
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
tg |
2 |
|
|
|
|
x ln cos |
x; |
y'(x) ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y xcos |
|
; |
где x 0, y '(x) ? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5.26. |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.21. |
|
|
y x2 |
|
ex2 |
|
ln x; |
y'(x) ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.27. Составить уравнение той касательной к кривой |
y 2x , которая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярна прямой |
y 3x . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.28. Зависимость между количеством |
x(t) вещества, получаемого в некоторой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
химической реакции, |
|
|
|
временем |
t выражается уравнением: x(t) a(1 e kx ) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определить скорость реакции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5.29. |
|
y 2sh |
x log |
4 |
arcctg |
|
|
|
; y'(x) ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.1. y'(x) 36 x2 (3x3 |
5)3 ; 5.2. y'(x) 60 x4 (2 4x5 )2 ; |
y'(1) 240 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 cos |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y' (x) |
2 |
|
|
|
|
|
3ctg |
cosec2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
20sin |
|
4 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y'(x) |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
20 |
tg4 |
4x |
sec2 |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin |
3 4x |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.5. |
|
y'(x) 4x3 cos x4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5.6. |
y'(x) |
|
|
|
|
|
5x4 |
|
|
|
|
|
|
5x4sec3 x5 ; 5.7. |
y'(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
x |
1 x 2 |
|
arcsin 3 |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||
5.8. |
|
y'(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 5.9. |
y'(x) |
|
|
|
|
2 |
|
|
, |
y'(0) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(1 x2 ) arcctg 4 x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
|
1 2cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.10. |
y'(x) |
|
|
|
, y'( |
) |
(1 3) |
; |
|||||||||||||||
3sin |
2 |
x |
|
2 |
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(2x 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
5 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y'(x) 5(2x 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.11. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
2x 3 |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4ln sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
y'(x) 4(sin 4 |
x)arcctg4 x ctgx arcctg4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
16 x2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5.13. |
y'(x) |
|
4 |
6ctg3x |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
tg5x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
sin 8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y'(x) |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5.14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2(x |
3) |
|
2(2 3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4x 2 arcsin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.15. |
y'(x) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; 5.16. y'(x) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; 5.17. |
y'(x) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
a |
|
|
|
|
|
x2 |
5 |
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.18. |
y'(x) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; 5.19. y'(x) e x arctge x ; 5.20. |
|
y'(x) |
|
x |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5.21. y'(x) x ex 2 (2x2 ln x 2ln x 1) ; 5.22. y'(x) |
|
|
|
|
2e3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.23. |
y'(x) |
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
; 5.24. |
|
|
y'(x) |
|
|
ln 3 |
|
|
|
|
|
|
; 5.25. y'(x) xx3 2 (3ln x 1) ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x ln 2 x |
|
3x ln 2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 (ln x sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.26. y'(x) xcos |
|
|
|
|
|
x cos |
) |
|
|
|
|
|
|
2x 6y 9 0 ;5.28. v ake kt ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
; 5.27. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.29. |
y'(x) 2sh |
x ln 2 ch |
x |
|
|
log |
4 |
arcctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sh x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sh x |
|
|
|
ch |
|
x ln |
|
arcctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
(9x |
4)arcctg |
|
|
|
|
ln 4 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
§6. Дифференцирование функций, заданных неявно
Если у есть функция от х и при этом все соответствующие друг другу
действительные значения х |
и у удовлетворяют |
уравнению |
F(x, y) 0 , то |
говорят, что функция y(x) |
задана уравнением |
F(x, y) 0 неявно. Для |
|
нахождения производной |
функции y(x), заданной неявно |
уравнением |
F (x, y) 0 , достаточно продифференцировать по x обе части этого уравнения,
рассматривая у как функцию от x, и из полученного уравнения выразить
Примеры с решениями
Пример 1. Функция y y(x) задана неявно уравнением x2 2xy y3 0.
Найти y 'x .
Решение. Поскольку у является функцией от х, будем рассматривать y³ как сложную функцию от х, следовательно, ( y3 ) ' 3y2 y ' . Продифференцировав по х обе части заданного уравнения, получим:
|
|
2x 2 ( y xy ') 3y2 y ' 0, |
|
|||||
|
|
y ' (9 y2 2x) 2 ( y x), |
|
|||||
|
|
|
y ' |
2 ( y x) |
|
|
|
|
|
|
9 y2 2x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y ' |
2 ( y x) |
|
|
|
|
||
Ответ: |
9 y2 2x . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
x |
Пример 2. Найти производную функции y 4 |
x 2 |
2 . |
Решение. В данном примере при нахождении производной удобно от явного задания функции перейти к неявному. Прологарифмируем обе части равенства, задающего функцию (при этом обычно используют натуральный логарифм):
x
ln y ln 4x 2ctg 3
Используя свойства логарифмов, позволяющее показатель степени вынести множителем за знак логарифма, получим неявно заданную функцию у в форме, удобной для дифференцирования:
27
ln y 14 ctg 3x ln(x 2)
Продифференцируем по х обе части полученного уравнения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
y ' |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
ln(x 2) |
ctg |
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
y |
4 |
|
2 x |
3 |
3 |
x 2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
x |
|
Выразим y′, домножив обе части этого уравнения на y |
4 |
x 2 |
3 |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x y ' 4x 2ctg 3
|
|
x |
|
|
|
|
ctg |
3 |
|
ln(x 2) |
|||
|
|
|
|
2 x |
|
|
x 2 |
3sin |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x y ' 4 x 2 ctg 3
Ответ:
|
|
x |
|
|
|
|
|
ctg |
3 |
|
ln(x 2) |
||||
|
|
|
|
2 x |
|
||
x 2 |
|
||||||
|
|
|
|
3sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
Производную от логарифма функции называют логарифмической производной. Пример 3. Найти производную функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(x 4)2 (x2 2)3 (3 2x)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 (5x 1)2 3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. Отметим, что данная функция на своей области определения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(D( y) ( |
1 |
; ) |
|
|
принимает |
положительные |
|
|
|
|
|
|
|
значения. |
|
|
|
Воспользуемся |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
логарифмической производной и свойствами логарифмов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln y ln |
(x 4)2 (x2 2)3 (3 2x)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 (5x 1)2 3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ln y 2ln |
|
x 4 |
|
|
3ln(x2 |
2) 4ln |
|
3 2x |
|
|
|
2 |
ln(5x 1) |
|
1 |
ln(3x 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
y ' |
|
|
2x |
|
( 2) |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
3, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 4 |
|
x2 2 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5x 1 |
|
|
2 3x 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
из этого равенства найдѐм y , |
умножив обе его части на |
|
|
|
|
|
|
|
|
28
y |
(x 4)2 |
(x2 |
2)3 |
(3 2x)4 |
||||
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
3 (5x 1)2 |
|
3x 1 |
|
|
(x 4)2 (x2 2)3 (3 2x)4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
6x |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x |
2 |
|
2 |
2x 3 |
|
|
|
|
2(3x 1) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3 (5x 1)2 |
3x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
3(5x 1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(x 4)2 (x2 |
2)3 |
(3 2x)4 |
|
2 |
|
|
|
|
6x |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 |
|
2x 3 |
|
3(5x 1) |
2(3x 1) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3 (5x 1)2 |
3x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть у есть функция от аргумента x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||||
|
|
Задавая |
значения |
x(x D) , |
|
по |
|
|
формуле |
(1) |
будем |
получать |
|||||||||||||||||||||||||||||||
соответствующие значения |
y( y E) . |
Можно, однако, считать у независимой |
переменной, а x – зависимой, задавать значения у и вычислять соответствующие им значения x. И если каждому значению у будет соответствовать единственное значение x, то равенство (1) можно рассматривать как неявное задание функции х от аргумента у. Такая функция называется обратной по отношению к данной функции у. Если уравнение (1) разрешить относительно х, получим явное выражение обратной функции, еѐ
обозначают x f 1 ( y). |
|
|
|
|
|
|||
И для всех допустимых значений у будет выполняться равенство |
|
|||||||
|
|
|
|
f ( f 1 ( y)) y, |
(2) |
|||
которое можно рассматривать как уравнение, задающее функцию |
x f 1 ( y) |
|||||||
неявно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления |
производной |
функции |
x f 1 ( y) продифференцируем |
|||||
уравнение (2) по у: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f '(x) x '( y) 1, |
|
||||
Откуда x '( y) |
1 |
|
или x '( y) |
1 |
|
, если |
y 'x 0. |
|
f '(x) |
y ' |
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
29
Пример 4. Вывести формулу производной функции y arcsin x
|
Решение. Рассмотрим функцию y arcsin x , где x 1;1 , |
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
2 |
; |
2 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обратная к ней функция имеет вид x sin y , причѐм x '( y) cos y 0 при |
|
||||||||||
y |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
. Воспользовавшись правилом дифференцирования обратной |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции, получим
y ' |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
. |
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x 'y |
cos y |
|||||
|
|
|
|
||||||
Поскольку cos y > 0 для всех y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
; |
|
, то, учитывая, что x sin y , |
||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , при x 1;1 . Следовательно: |
||||||||||||
получаем cos y 1 sin2 |
y |
|
1 x2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 'x |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
т.е. (arcsin x) ' |
1 |
|
|
, где |
x 1;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: (arcsin x) ' |
|
|
|
1 |
|
, где x 1;1 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 5. Вывести формулу производной функции, обратной к функции |
||||||||||||||||||||||||||
y sh x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Дана |
|
|
|
функция |
y sh x |
ex |
e x |
, еѐ производная |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ' (sh x)' ch x |
ex e x |
0 , для всех |
|
|
x R ,следовательно, функция y sh x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на всей действительной оси монотонно возрастает и имеет обратную функцию, обозначаемую arsh x .
Уравнение x sh y задаѐт эту обратную функцию неявным образом.
|
, откуда |
|
|
1 |
. |
|
|||||
|
|||||
Продифференцируем обе части по х: 1 ch y yx |
yx |
ch y |
|||
|
|
|
|
|
30