ГЛАВА-1-06.13

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

e или lim 1 x

e, где e 2,72.

.pdf

Скачиваний:

200

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

1.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

	sin ax	ax t		sin t
Решение. lim			a lim		a 1 a
	x			t
x 0		t 0	t 0

Ответ: a.

Пример 2. Вычислить предел:

lim 2x sin x x 0 1 cos x

Решение. Используем тригонометрические формулы:

2 sin 2

1 cos x; sin x 2 sin

cos

, получаем

2x 2sin

2x cos

2x sin x

cos

lim

x 0 1 cos x

x 0

2 x

x 0

2sin

sin

2 lim cos

2 1

x 0

sin

lim

x 0

Ответ: 4.

Вторым замечательным пределом называется предел вида:

Пример 3. Вычислить предел:

обозначим

lim 1

, при x

lim(1 t)

t 0

t 0.

Ответ: e6 .

Пример 4. Вычислить предел:

lim x 2 2 x x x 4

(lim(1 t)t )6 e6

t 0

x 2	2 x		(x 4) 2 2 x		2 2 x
Решение. lim		lim		lim 1

x x 4		x	x 4	x	x 4

обозначим

x 4

lim 1

при x

t 0

t 0.

lim 1 t

e 4

t 0

Ответ: e 4 .

t 4t 8

e 4

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить пределы:

2.1. lim tg5x

x 0 x

2.3. lim sin 4x x 0 sin 7x

2.5. lim cos3x 1

x 0 x2

2.7. lim tgx sin x

x 0 x3

2.9. lim	tg2x


x 0 x2 3x

2.11. lim		sin(3x 6)
			x 2
x 2
2.13. lim	sin(x 3) sin(x 3)
				2x
x 0
2.15. lim	arcsin7x
		sin 4x
x 0

2.17. lim			9 x 3

			sin 4x
x 0

2.2. lim	sin 3x
2.2. lim	x
x 0	x
2.4. lim	tg 2 6x
2.4. lim
x 0 sin 2 9x
2.6. lim	x2 2x
2.6. lim	sin 7x
x 0	sin 7x
2.8. lim	1 cos4x
2.8. lim	x sin 4x
x 0	x sin 4x
2.10. lim x sin		5
2.10. lim x sin		x
x		x

1 sin

2.12. lim

2.14. lim (x ctgx)

x 0

2.16. lim

1 2 sin x

2.18. lim

sin 7x

1 x 1

x 0


					1 tgx 1 tgx
2.19. lim		x	tgx	2.20. lim
2.19. lim		x	tgx	2.20. lim
x			2	x	sin 2x
x	2


	1			1
2.21. lim	1			1

		2			2 x
x 0		2			2 x
sin			x	4 sin
sin			x	4 sin
					2

	4 x
2.23. lim 1

x	x
	3	4x 2
2.25. lim 1
	x2
x

2.27. lim 2x 7 4x

x 2x 3

6x 1 3x 1

2.29. lim x 6x 1

		x2 5			x 2
2.31. lim
2.31. lim			2
		3x	2	1
x		3x		1
2.33. lim	x(ln(x 3) ln( x 2))
x

2.22. lim		sin 2x cos 2x 1
2.22. lim		cos x sin x
x		cos x sin x
x	4

	8	x
2.24. lim 1

x	x
	2	3x
2.26. lim 1

x	x

x 2		x 4
2.28. lim

x x 2

	3x 5	2x
2.30. lim
2.30. lim	3x 1
x	3x 1

2.32. lim 1 sin x x

x 0

2.34. lim ln(1 7x)

x 0 x

				Ответы
2.1. 5. 2.2. 3. 2.3.	4	. 2.4.	4	2.5. – 4,5. 2.6. –	2	. 2.7. 0,5. 2.8. 2. 2.9. –	2	. 2.10. 5.
2.1. 5. 2.2. 3. 2.3.	7	. 2.4.	9	2.5. – 4,5. 2.6. –	7	. 2.7. 0,5. 2.8. 2. 2.9. –	3	. 2.10. 5.
	7		9		7		3

2.11.3. 2.12. 0. 2.13. cos 3. 2.14. 1. 2.15. 1,75. 2.16. 3 . 2.17. – 241 . 2.18. 14.

2.19.– 1. 2.20. – 0,5. 2.21. 14 . 2.22. – 2 . 2.23. e4 . 2.24. e8 . 2.25. e 12 . 2.26. e 6 .

2.27.e20 . 2.28. e 4 . 2.29. e 1 . 2.30. e4 . 2.31. 0. 2.32. e . 2.33. 1. 2.34. –7.

§3. Производная функции одной переменной (определение, геометрический смысл)

Рассмотрим функцию y f (x)	, определенную в точке x и в некоторой
окрестности этой точки.
Определение 1. Производной	функции y f (x) в точке x называется

предел отношения приращения функции в точке x к приращению аргумента при

условии стремления приращения аргумента к нулю, если такой предел существует:

y' (x) lim

lim

f (x x) f (x)

(1)

x 0

Для

обозначения

производной

используют

символы:

y '(x); f '(x);

;

df (x)

Определение 2.

Односторонние пределы

lim

и lim

называются

x 0

соответственно левой производной и правой производной функции y f (x)


в точке	x (если эти пределы существуют). Их обозначают f ' (x); f ' (x) или
y'(x 0); y'(x 0) .		Для существования производной функции y f (x) в
точке	x необходимо, чтобы ее правая и левая производные в этой точке

существовали и были равны:

y '(x 0); y '(x 0).

		Примеры с решениями
Пример 1.	Найти	y' (2) для функции y 2x 3x2 , пользуясь
определением производной.
Решение. Пусть	x –	приращение аргумента. Найдем соответствующие

ему приращение функции в точке x = 2:

y f (x x) f (x) f (2 x) f (2) 2(2 x) 3(2 x)2

(2 2 3 22 ) 4 2 x 3(4 4 x ( x)2 ) 8 4 2 x 12

12 x 3( x)2 8 10 x 3( x)2

Воспользуемся определением производной:

y' (2) lim y

x 0 x

Ответ: y' (2) 10

lim	10 x 3( x)
x 0	x

lim ( 10 3 x)

x 0

2	x( 10 3 x)
lim	x( 10 3 x)
x 0	x
10

Пример 2. Найти f ' (x) и f ' (x) для функции	f (x)		x		в точке х = 0.

Решение. Пусть x

– приращение аргумента. Найдем соответствующее

ему приращение функции в точке x = 0:

y f (x x) f (x) f (0 x) f (0)

0 x

Воспользуемся определением:

f '(x) lim

lim

x 1;

x 0

f ' (x) f ' (x).

f '(x)

lim

y lim

lim

x 0

x 0 x

Ответ:

f ' (x) 1;

f ' (x) 1 .

Заметим, что

функция

f (x)

не имеет производной в точке x=0,

так как

С геометрической точки зрения значение производной функции y f (x) в

точке x0	представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к
графику	функции y f (x) в точке M0 (x0; f(x0)), т.е. f ' (x0 ) tg , где –

угол наклона касательной к оси Оx.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции y f (x) в точке

с абсциссой x0 , имеет вид:
			y f ' (x0 )( x x0 ) f (x0 ) .			(2)
Уравнение нормали к графику той же функции в точке с абсциссой						x0:
			y	1	(x x0 ) f (x0 ),
						(3)
				f '(x0 )		(3)
				f '(x0 )
если f '(x0 ) 0 .
	Если в точке x0		функция y f (x) имеет бесконечную производную, т.е.
lim	y или	или , то касательная к графику этой функции в
x 0	x
точке с абсциссой x0			перпендикулярна оси Ox, ( 90 ) :

Уравнение касательной в этих случаях имеет вид: x = x0 , а уравнение нормали –

y f (x0 ) . Если же f ' (x0 ) 0 , то уравнение нормали:			x = x0 .
Углом между кривыми	y f1 (x)	и y f2 (x) называется угол между
касательными, проведѐнными	к этим	кривым в	точке их пересечения
M 0 (x0 ; y0 ) :

tg	f (x) f (x)
	2		1		,	(4)
	1 f (x ) f (x )				,


	1	0	2	0
если f1 ' (x0 ) f2 ' (x0 ) 1.
Если же f1 ' (x0 ) f2 ' (x0 ) 1 , то			касательные перпендикулярны и
90 .

Пример 3. Составить уравнения касательной и нормали к графику

функции			y 2x 3x2 в точке с абсциссой x0 = 2.
Решение. Воспользуемся уравнениями касательной (2) и нормали (3).
В эти уравнения надо поставить x0 = 2;						f (x0 ) f (2) 2 2 3 22 8 и
найденное			в	примере	1 значение	f ' (2) 10. Получим уравнение
касательной:				y 10(x 2) ( 8), y 10x 12, и уравнение нормали:
y 10(x 2) ( 8),					y 10x 12,
y	1	(x 2) ( 8),			y 0,1x 8,2

10
Ответ:				y 10x 12 – уравнение касательной;

y 0,1x 8,2 – уравнение нормали.

Пример 4. Пользуясь определением, найти значение производной

функции y cos2x в точках

;

Решение. Выведем формулу производной функции

y cos2x

в любой

точке x R , пользуясь определением. Зададим аргументу приращение

x и

найдем соответствующее ему приращение функции:

y f (x x) f (x) cos 2(x x) cos2x

2 sin

2x 2 x 2x

sin

2x 2 x 2x

2 sin(2x x) sin x

y' (x) (cos2x)' lim

y lim 2 sin(2x x) sin x

x 0

2 lim sin(2x x) lim

sin x

2 sin 2x

x 0

Итак, y'(x) 2sin 2x . Вычислим значения производной в указанных точках:

2 sin

2 π

Ответ:

y '

π6 2 12 1;

π			2
π	2		2	2;


4		2

		3
2		3	3.
2		2	3.
		2
	π
	π
y '			3.
y '			3.
	3

Если при прямолинейном движении точки задан							закон движения
S S(t),	то скорость движения v в момент времени t0					есть производная по
времени:	v S ' (t0 ) ,	а ускорение		а в	момент времени		t0	определяется
производной скорости движения по времени: a v (t0 ).
	Примеры для самостоятельного решения
3.1.	Вычислить	приращение		функции y 3x 5			в	точке	x0 2 ,
соответствующее приращению аргумента					x 0,1.
3.2.	Вычислить	приращение		функции y 2 5x			в	точке	x0 3 ,
соответствующее приращению аргумента					x 0,02.
3.3.	Найти приращение		функции y 3x x2 4			в	точке x 1 для
любого приращения аргумента			x.
3.4. Найти приращение функции				y 2x2 3x 1 в точке x = 2 для любого
приращения аргумента		x.

3.5. Пользуясь определением производной, вычислить y' ( 3) для функции y(x) 5 4x .

3.6.Пользуясь определением производной, вычислить y' (7) для функции y(x) 5 4x .

3.7.Пользуясь определением производной, вывести формулу производной

функции y sin x в

любой точке,

x ( ; )

найти

значения

этой

производной в точках:

x1 π; x2

; x3 π; x4

; x5

; x6

3.8. Пользуясь определением производной, вывести формулу производной

функции y cosx в любой точке, x ( ; )

и найти значения этой

производной в точках:

x1 0; x2 π; x3

;

; x5

; x6

2 π

	3.9.			Найти	угловой коэффициент	касательной к графику функции
y		1	x2	в точке	M(2;2), составить уравнения касательной и нормали к этой
y	2		x2	в точке	M(2;2), составить уравнения касательной и нормали к этой
	2
кривой в точке M, сделать чертеж.
	3.10. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
y		1	x2	в точке с абсциссой x0 = 2 . Сделать чертеж.
y	2		x2


	3.11. На графике функции y 2x2					3x 1 найти точку, касательная к

которой параллельна биссектрисе первого координатного угла. Составить уравнение этой касательной. Сделать чертеж.

3.12. На графике функции	y 3 2x x2 найти точку, касательная к
которой перпендикулярна прямой	x 4y 8 0 . Составить уравнение этой
касательной. Сделать чертеж.
3.13. Составить уравнения	касательных	к	графику функции
y x2 2x 1 , приходящих через точку A(2;2). Сделать чертеж.
3.14. Закон движения точки:	S(t) 6t 2 t 1,	где	S – расстояние в

метрах, t – время в секундах. Найти скорость этой точки в момент времени t = 4.

Ответы

3.1. y 0,3; 3.2. y 0,1; 3.3. y 5 x ( x)2 ; 3.4. y 2( x)2 5 x ;

3.5. – 4; 3.6. – 4; 3.7. y '(x) cos x; y '(0) 1;		π	0;	y ' π 1;
	y '				y '

		2

π		2	;

	2
4

	π
y '

	6

	3			π	1			y ' π 0;
		;	y '			; 3.8.	y '(x) sin x; y '(0) 0;
2					2
				3

	π	1;
y '			y '

	2

π			π				2 π
	1				2			3
		; y '				; y '			;
	2			2				2
6			4				3

3.9.k 2; y 2x 2 – уравнение касательной; x 2 y 6 0 – уравнение


нормали; 3.10.		y 6x 8		– уравнение касательной; x 6 y 26 0 –
уравнение нормали;			3.11. M 0 (1; 2) – точка касания; y x 3 –		уравнение
касательной;	3.12.		M 0 ( 3;0)	– точка касания; y 4x 12 –	уравнение
касательной;	3.13.	y 2x 5; y 6x 17 ; 3.14. 47 м с .

§4.	Дифференцирование	по	формулам,	правила
дифференцирования
	Основные правила дифференцирования функции
Если	с const; u u(x); v v(x)	– дифференцируемые в		точке x

функции, то:

1.c' 0

2.(u v)' u ' v '

3.(u v)' u' v v'u

4.(c u)' c u'

6.	Если функция	u(x) дифференцируема	в точке	x,	а функция
f (u) дифференцируема в		соответствующей точке	u(u u(x)),		то тогда

сложная функция y(x) f (u(x))дифференцируема в точке x и ее производная в этой точке вычисляется по формуле:

	[ f (u(x))]' f ' (u) u' (x)
	Формулы дифференцирования основных элементарных функций
1.	c' 0 , если c const

2.x' 1, если x – независимая переменная

3.(x )' x 1

	1	/			1
4.		(x 1 )'
		(x 1 )'			x2
	x				x2
			1	1
5.	( x )' (x 2 )'			1			, где x 0


						x
		2				x

6.(a x )' a x ln a

7.(ex )' ex

8.	(loga x)'	1

		x ln a
		x ln a

9.(ln x)' 1x

10.(sin x)' cos x

11.(cos x)' sin x

12. (tg x)' 12 cos x

13.

(ctgx)'

sin 2 x

(arcsin x)'

14.

1 x2

(arccos x)'

15.

1 x2

16.

(arctg x)'

1 x2

17.

(arcctgx)'

(sh x)'

chx

18.

(ch x)'

shx

19.

sh x /

20.

(th x)'

ch2 x

ch x

chx /

21.

(cth x)'

sh2 x

shx

Примеры с решениями

Пример 1.

Найти производную функции

y x3 5x4

4x2 8

x3 в точке x (0; ) .

Решение. Используя правила дифференцирования (2 и 4) и формулу производной степенной функции (3–5), получим

y '(x) x3

5x4

4x2 8

2 x

							2
											3							19
3		4				2					2							8
3	5(x			(x		2			x		2				4 x			8
(x )	5(x	)		(x		)			x						4 x
							5
			1					2			1				4				19	11
			1	( 2)x 3				2			1								19
3x2 5 4x3												x		3 4						x 8
3x2 5 4x3												x		3 4						x 8
			3					5			3								8
3x2 20 x3						2		2					19
						2		2					19			x8	x3
					3x3		153						2
										x
										x

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.20151.71 Mб30выш.мат. методичка.DOC
#
16.08.2019281.06 Кб3Геллнер Э.docx
#
08.09.2019125.95 Кб15Геморрагический синдром.doc
#
05.08.20193.97 Mб11география итоговый вариант.docx
#
13.02.201561.44 Кб12Гидросфера.doc
#
12.03.20161.9 Mб200ГЛАВА-1-06.13.pdf
#
12.03.20161.64 Mб70ГЛАВА-2-06.13.pdf
#
19.08.201937.03 Кб0ГО в ЧС вторая часть.docx
#
19.08.2019758.05 Кб1ГО В ЧС.docx
#
13.02.20158.48 Mб226ГО и ЧС.doc
#
11.09.201999.09 Кб0ГО от Мягкого.docx