ГЛАВА-1-06.13

8.10. y(x) log2 (3cos

arctg4

5x2

),

dy ?

x

8

8.11. xy cos(x y) 0,

dy ?

8.12. x y sin(x y) 0,

dy ?

1

8.13.

dy ex

dx,

y ?

1 x2

1

1

8.14.

dy

dx,

y ?

x

2

x ln 3

1

dy 3arcsin2 ln x

1

1

dx,

y ?

8.15.

ln2 x

x

1

arctg5

1

1

1

1

dy 2

x ln 2 5arctg4

dx,

y ?

1

2

8.16.

x

1

x

x2

1

1

8.9. dy

dx ;

x

2

16

x2 4

2

8.10.

1

3cos

x ln 3 sin

x

1

4 arctg3

5x

1

5x

dx ;

4 5x2

25x4

arctg

ln 2

2

x

8

4

cos x

3

1

8

64

8.11.

sin(x y) y

dx ; 8.12.

1 cos(x y)

dx ; 8.13. y1 ex arcsin x c,

sin(x y) y

1 cos(x y)

y

ex arccos x c, где c const ; 8.14. y1 log3 x arctg x c,

2

y

2

log

3

x arcctg x c, где с const ; 8.15. y arcsin3 ln x с ;

8.16. y 2arctg

5 1

x

c .

d2 y

d dy

,

.

f (x), y ,

dx2

dx dx

Производная от производной

второго

порядка, если она существует,

Вообще, производной n-го порядка от функции

y f (x) называется

производная от производной (n–1)-го порядка:

f n ( x) f (n 1) x

Производные высших порядков вычисляются последовательным

дифференцированием функции.

Если функция y x задана параметрически системой уравнений: x t ,

где t и ψ t − дифференцируемые функции и

y ψ t

t 0 , то для нахождения

производных функции y x можно использовать следующие формулы:

dy

ψ t

yt

yx

dx

t

xt

d

2

y

y

y t

x

и т.д.

2

2

yxx

x

dx

xt

3

d y

t

y

yxx

3

yxxx

x

3

dx

xt

ytt

xt

xtt

yt

yxx

xt 3

Для нахождения второй производной от функции, заданной неявно,

равенство y

f x, y , задающее ее первую производную, дифференцируют по

x (рассматривая y как функцию от x ),

а затем в правой части полученного

равенства на место y подставляют

задающее ее выражение f x, y .

y

4

sin x sin x 2

sin x 4

2

______________________________

(n)

π

nπ

y

sin

x

n

sin x

2

2

(n)

nπ

Ответ: y

sin x

2

функции y x ,

Пример 3.

Найти

производную

третьего

порядка

от

x 4 cos t

заданной параметрически уравнениями

5 sin t

y

Решение.

yt

5 cos t

5

ctgt

yx

xt

4 sin t

4

5

1

2

t

4

sin

t

5

yx

yx 2

xt

4

sin t

3

t

16 sin

5

4

y 2

t

3 sin

t

cos t

15 cos t

x

16

yx 3

xt

4 sin t

64 sin

5

t

15 cost

5

Ответ: yx3

64sin

t

y x , если она

Пример 4. Найти производную n-го порядка от функции

x ln t

задана параметрически уравнениями

1

y

t

Решение.

1

yt

t2

1

yx

xt

1

t