Кравченко. Практикум

jxC I

1 j150 120 j150 120

В ,

c

b

1

c

a

I1

I

I2

d

b

Рис. 9.2

84

9. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ СО ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ

Проверка

c

d r2I2 120

В ,

Задача 9.2

Цепь, изображенная на схеме (рис. 9.3), подключена к

источникунапряжения U = 120 В с частотой = 1000 (с–1).

L4

Параметры элементов цепи:

L1

L2

L1 = 0,05 Гн, L2 = 0,04 Гн,

L3 = 0,01 Гн, C = 10 мкФ,

L3

U

C

М12 = 0,01 Гн, М14 = 0,08 Гн,

М24 = 0,06 Гн.

Рис. 9.3

Активным сопротивлением катушек пренебречь.

Определить показание вольтметра (RV = ∞).

Решение

1. Поскольку сопротивление вольтметра бесконечно велико, напряжение

на его зажимах определится только ЭДС взаимной индукции

ЕМ14 = j М14 I1

и ЕМ24 = j М24 I2.

Для определения показания вольтметра необходимо предварительно оце-

нить характер включения катушек L1, L2, L4 и рассчитать токи I1 и I2

в них.

При заданной конструкции устройства токи

V

I1 и I2 в катушках L1 и L2

создают

магнитные

потоки Ф1 и Ф2, направленные (рис. 9.4) встреч-

но. Следовательно, ЭДС самоиндукции и взаи-

L4

моиндукции в этих катушках будут противопо-

2

ложны по знаку (катушки L1

и L2

включены

1

L1

L2

встречно). Противоположными по знаку будут и

наведенные потоками Ф

и Ф

ЭДС взаимной

I1

I

I2

1

2

индукции в катушке L4.

Рис. 9.4

В цепи, представленной на рис. 9.5,

r

x3

x1 = 60 Ом, x2 = 40 Ом, x4 = 40 Ом,

x1

x = 50 Ом, r = 15 Ом,

x = 20 Ом.

x4

5

12

x12

Найти x3, при котором цепь находится

в ре-

x5

x2

жиме резонанса токов.

Решение

Рис. 9.5

1. Для реализации условия резонанса токов

Im(yвх) =

1

1

= 0

jx5

jxэкв

86

9. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ СО ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ

jx

jx3

jx1

jx12

r

3

jx1

r

jx4

jx

jx

4

12

jx

jx12

12

jx12

jx5

jx5

jx12

jх

j(х

х )

( jх3 jх1 jх12)( jх4 jх12)

=

экв

12

2

( jх

jх

jх ) ( jх

jх

)

3

1

12

4

12

j(20 40)

( jх3 j60 j20)( j40 j20)

( jх3 j60 j20) ( j40 j20)

j60

( jх3 j80) 60

j

3600

Ом.

х3 20

х3 20

Записать уравнения для контурных токов

I11 и I22 (рис. 9.7).

r

*

L1

*

M

Ответ:

I11 r

j (L1 + L2

+2M)

U

C2

+

–

I11

L2

I22

– I22 j (L2 +M) = U,

I22 j L2 C

– I11 j (L2 +M) = 0.

Рис. 9.7

1

2

Задача 9.5

Построить (рис. 9.8) векторную диа-

I1

L1

грамму токов и напряжений.

U

M

I3

I1

L2

I2

I2

I2xM

U

I3 I1xM

Ответ:

Рис. 9.8

I1xL1

I1xL2

Задача 9.6

В схеме (рис. 9.9):

r

x5

x34

x1 = 80 Ом, x2 = 180 Ом,

x

12

x3 = 40 Ом, x4 = 90 Ом,

U

x1

x5 = 220 Ом,

x2

x3

x4

k12 = 0,75, k34 = 0,5,

U = 200 B.

Найти

показание

вольтметра

V

Рис. 9.9

(RV= ∞).

88

9. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ СО ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ

Задача 9.7

L1

C

В цепи (рис. 9.10) имеет место резонанс токов:

M

L2

L1 = 20 мГн, L2 = 40 мГн,

М = 20 мГн, r = 100 Ом,

r

U = 60 В, = 104 c–1.

Определить

показания

всех

амперметров

U

(zA = 0).

Рис. 9.10

Рассмотреть два случая: L1

и L2

подключены к

узлу:

а) одноименными зажимами;

б) разноименными зажимами.

Ответ: а)

IA

= 0,3 А; IA

= 0,3 A; IA

= 0,6 A;

IA

= 0,6 A;

1

2

3

4

б)

IA

= 0,1 A; IA

= 0,1 A; IA

= 0,6 A;

IA

= 0,6 A.

1

2

3

4

10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

Основные сведения

Четырехполюсником называют часть электрической цепи, имеющей две пары зажимов

(четыре полюса). К входным зажимам обычно подключают источник питания, к выходным –

приемники энергии. Примером четырехполюсника может быть любое электротехническое

устройство, в котором исследуется связь между напряжениями и токами на входе и выходе.

Условное обозначение четырехполюсника

Активный

четырехполюсник

содержит источники энергии, пас-

сивный четырехполюсник – не со-

держит.

Симметричным

называется

четырехполюсник, в котором пере-

Пассивный

четырехполюс-

мена местами его входных и вы-

ник (буква П в обозначении

Активный четырехполюс-

ходных зажимов

не

изменяет

ре-

не обязательна)

ник

жимов

источника

питания

и

приемника

1–1' – входные (первичные) зажимы, 2–2' – выходные (вторичные) зажимы, I1, U1, I2, U2– на-

пряжения и токи на входе и выходе четырехполюсника

Уравнения пассивного линейного четырехполюсника в А-форме

Питание со стороны входных зажимов (прямое включение)

Уравнение связи

коэффициентов

I 1

I 2

U1 AU2 ВI2,

2

AD ВC 1

1

I1 CU2 DI2,

U2

z2

U1

z

U1 AU2

ВI2 Az2 В ,

'

Для симметричного

1'

1вх

I1

CU2 DI2

Cz2 D

2

z1к В D ,

z1х A C .

четырехполюсника

A = D,

Питание со стороны выходных зажимов (обратное включение)

т. е. уравнение связи

1 I 1

I 2 2

U2 DU1 ВI1,

A

2

ВC 1

I2 CU

1 AI1,

z1

U1

U2

U2 DU1

ВI1 Dz1 В ,

z

2вх

I

2

CU

1

AI

1

Cz A

1'

2'

1

z2к В A ,

z2х D C

90

10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

Эквивалентные схемы замещения пассивного четырехполюсника

Схема замещения

Параметры схемы

Коэффициенты

замещения

четырехполюсника

z

A 1,

A 1 z1Т ,

образная

1Т

C

z3Т

z

2Т

D 1,

z

3Т

1

B z

z

2Т

z1Т z2Т ,

C

C

1Т

z3Т

Т-

C 1

, D 1 z2Т

z3Т

z3Т

z1П В,

A 1 z1П ,

B z1П,

образная

В

z3П

z

2П

,

z

1П

z

2П

z

3П ,

D 1

C

В

z2П z3П

П-

z3П A 1

D 1 z1П

z2П

Способы определения коэффициентов четырехполюсника

1. Метод сопоставления. На основании законов Кирхгофа составляются уравнения для

схемы четырехполюсника, связывающие входные ток и напряжение с выходными. Сравне-

ние коэффициентов при токах и напряжениях полученных уравнений и основных уравнений

четырехполюсника позволяет определить коэффициенты A, В,C,

D

2. На основе расчетных режимов холостого хода и короткого замыкания. При извест-

ной схеме четырехполюсника расчетным путем определяют входные сопротивления част-

ных режимов:

z1к , z1х , z2к , z2х ,мысленно замыкая или размыкая соответствующие зажимы

и

подсчитывая

сопротивления

путем

свертывания

схемы.

С

учетом

соотношений

z1х A C , z1к В D ,

z2к В A , z2х D C

и

AD ВC 1 определяются коэффициен-

ты A, В,C, D

3. Посредством приведения исходной схемы (путем эквивалентных преобразований) к

виду Т или П-образной схемы и использования связи параметров этих схем с коэффициен-

тами четырехполюсника

Характеристические параметры четырехполюсника

Характеристи-

ческие сопро-

z

z

z

z

z1 z1c

z2вх z2c

тивления четы-

1вх

2

2c

1c

рехполюсника

z1вх z1c, если z2

z2c

z2вх z2c,если

z1

z1c

91

Несимметричный четырехполюсник

Симметричный

четырехполюсник (A = D)

z

AВ z z

,

z

z

2c

z

c

В

1c

CD

1х 1к

1c

C

z

2c

DВ z

2х

z

2к

z

z

z

2х

z

2к

CA

1х 1к

Г а jb ln( AD

BC)

Г а jb ln(A

BC)

Характери-

1ln U1I1 ,

ln U1

ln I1 ,

стическая

постоянная

2

U2 I2

U2

I2

передачи

а

–

постоянная

ослабления

четырехполюсника,

b

–

постоянная

фазы,

а Нп, Б, дБ,

b рад

Коэффици-

m

z1c

z2c

A D

m

A D 1

ент транс-

формации

Уравнения четырехполюсника в гиперболических функциях

Несимметричный

Симметричный

четырехполюсник

четырехполюсник

z1c

z2c

(z1c z2c

zc)

U1

z1c (U2chГ z2c I2shГ) m(U2chГ z2c I2shГ) ,

U1 U2chГ zc I2shГ ,

z2c

chГ 1 U

I

z2c

I chà 1

I

I

shГ

I chà 1 U shà 1

U shÃ

1

2

z

c

2

1

z

2

z

2

m

2

z

2

2c

2c

1c

Уравнения четырехполюсника в гиперболических функциях

при согласованной нагрузке z2

z2c

z1c

z2c

Симметричный четырехполюсник

Г

Г

(z

z

2c

z

c

)

U1

z

U2e ,

I1

z

I2e

1c

U1 U2eГ,

I1 I2eГ

2c

1c