1.5.3. Минимизация не полностью определенных функций

Имеется ряд функций, значение которых на некоторых наборах неопределено или нас просто не интересует. Такие наборы называются запрещенными и используются для минимизации, дополняя функцию нулями или единицами так, чтобы провести куб более высокого ранга.

Пусть, например, имеем функцию трёх переменных, заданную такой таблицей истинности (рис.1.39):

№\X	a	b	c	F
0	0	0	0	*
1	0	0	1	1
2	0	1	0	1
3	0	1	1	0
4	1	0	0	1
5	1	0	1	*
6	1	1	0	1
7	1	1	1	0

Рисунок 1.39 – Таблица истинности не полностью

определённой функции

Здесь символом * обозначены запрещённые комбинации входных переменных. Требуется найти минимальную форму.

Если не использовать запрещённые наборы, то карта Карно и минимальная форма будут следующими (рис. 1.40):

Рисунок 1.40 – Карта Карно функции рис. 1.39

. Цена схемы равна Ц = 7+ 3 = 10. Если на запрещённых наборах функцию дополнить единицами, то карта Карно принимает вид (рис. 1.41):

Рисунок 1.41 – Карта Карно функции (рис. 1.39), дополненная единицами

Минимальная форма . Цена Ц = 2. Схемная реализация

получается значительно проще.

1.6 Синтез логических схем

1.6.1 Синтез схем с одним выходом

Синтез комбинационных схем с одним выходом включает следующие этапы:

1) Кодирование входных и выходных переменных и переход от словесного описания работы устройства к таблице истинности.

2) Получение СДНФ.

3) Минимизация функции.

4) Перевод минимальной формы в заданный базис.

5) Составление логической схемы.

Рассмотрим все эти этапы на примере.

Имеется три датчика, выходные сигналы которых двоичные числа.

Используя элементы Шеффера 2и-не, обеспечить индикацию на выходе, если, по меньшей мере, два из трёх входных сигналов единичны.

Выполняем кодировку и составляем таблицу истинности (рис.1.42):

№\X	a	b	c	f
0	0	0	0	0
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	1
4	1	0	0	0
5	1	0	1	1
6	1	1	0	1
7	1	1	1	1

Рисунок 1.42 – Таблица истинности исходной функции

Заполняем карту Карно (рис. 1.43) и получаем минимальную форму, которую с помощью двойного отрицания переводим в базис И – НЕ

Рисунок 1.43 – Карта Карно функции (рис. 1.42)

Записываем МДНФ:

Схемная реализация этой функции выглядит следующим образом (рис. 1.44)

Рисунок 1.44 – Схемная реализация функции (рис. 1.42)

Однако, эта схема не отвечает условиям задачи, так как использует трёхвходовой элемент Шеффера. Требуется преобразовать функцию под двухвходовые элементы. Снова воспользуемся двойным отрицанием, которое не меняет значения функции, но объединяет по два входа

Последнее выражение реализуется уже на двухвходовых элементах (рис. 1.45)

Рисунок 1.45 – Схемная реализация функции (рис. 1.42)

на двухвходовых элементах

Условия задачи выполнены.

2. Синтез схем с несколькими выходами

Если логическая схема имеет n входов (n число независимых переменных) и по условию задачи должна иметь k выходов, то каждый из k выходов описывают своей функцией алгебры логики.

Эта система функций называется системой собственных функций и описывает, так называемый, логический (n,k) – полюсник. Этапы синтеза (n,k) – полюсников повторяют этапы синтеза схем с одним выходом, только каждую функцию минимизируют отдельно, хотя известно, что совместная минимизация дает лучшие результаты.

Пусть, например, требуется синтезировать ( 2 , 5 ) – полюсник, заданный

такой таблицей истинности

№\X	a	b
0	0	0	1	0	1	0	1
1	0	1	0	0	0	1	0
2	1	0	1	1	0	1	1
3	1	1	1	0	0	0	0

Рисунок 1.46 – Таблица истинности (2,5) – полюсника

Составляем систему собственных функций и минимизируем каждую из них:

На основании этих выражений составляем схему (рис. 1.47)

Рисунок 1.47 – Схемная реализация функции (рис. 1.46)

2. Скобочная форма функций алгебры логики

Пусть, в результате минимизации получена такая функция (МДНФ):

Построим схему, реализующую эту функцию (рис. 1.48)

Рисунок 1.48 – Схемная реализация исходной функции

Цена этой схемы равна Ц=10+3=13. Время, через которое сигнал появляется на выходе (задержка) , где - время прохождения сигнала через один элемент.

Функция, полученная в результате решения задачи минимизации, не является абсолютно минимальной и допускает дальнейшее уменьшение цены путем вынесения за скобку общих множителей (так называемая скобочная форма).

Построим схему, реализующую эту функцию (рис. 1.49)

Рисунок 1.49 – Схемная реализация скобочной формы функции

Общее число входов получилось меньше, но время задержки увеличилось и равно . Возросла “глубина” схемы и увеличилось время прохождения сигнала. Поэтому, наиболее быстродействующие схемы – схемы, построенные по ДНФ.