- •Часть 1
- •1.1 Основные понятия
- •1.2 Аксиомы и основные свойства алгебры логики
- •1.3 Понятие базиса
- •1.4 Формы представления функций алгебры логики
- •1.5 Минимизация функций
- •1.5.3. Минимизация не полностью определенных функций
- •1.6 Синтез логических схем
- •Используя элементы Шеффера 2и-не, обеспечить индикацию на выходе, если, по меньшей мере, два из трёх входных сигналов единичны.
- •2 Арифметические основы электронно-вычислительных устройств
- •2.1 Системы счисления
- •2.2 Перевод чисел из одной системы в другую
- •2.3 Арифметические операции в различных системах счисления
- •2.4 Формы представления чисел
- •2.5 Машинные коды
- •Операции над числами в машинных кодах
- •2.7 Двоично – десятичная система кодирования
- •Сложение двоично-десятичных чисел
- •2.8 Переполнение разрядной сетки машины
- •2.9 Контроль информации
- •2.10 Представление алфавитно – цифровой информации
- •3.1 Дешифратор и шифратор
- •3.3 Сумматоры
- •3.4 Преобразователи кодов
- •3.5 Шинный формирователь
- •4 Последовательностные устройства
- •4.1 Асинхронные триггеры
- •4.2 Синхронные триггеры
- •4.3 Способы управления триггерами
- •5 Элементы цифровых устройств
- •Уровни представления вычислительных устройств
- •5.2 Структура цифрового устройства
- •5.3 Операционные элементы
- •Литература
1.4 Формы представления функций алгебры логики
Функции алгебры логики могут быть заданы различными способами:
- таблицей истинности
- в аналитической форме
- в числовой форме.
Таблица истинности уже была рассмотрена. В ней все наборы логических переменных следуют строго в порядке возрастания их двоичного номера и нумеруются целыми числами от 0 до 2n-1, где n – число переменных функции.
Если функция имеет значения на всех наборах, то она называется полностью определенной.
При аналитической записи используются так называемые нормальные формы.
Для лучшего понимания материала введем некоторые понятия:
* терм - компонент выражения;
* ранг терма - число переменных, входящих в терм;
* элементарная дизъюнкция - дизъюнктивный терм или макстерм - это дизъюнкция произвольного числа попарно независимых переменных. Например,
это не макстерм т.к. переменные ипопарно
зависимые.
* элементарная конъюнкция - конъюнктивный терм или минтерм - конъюнкция произвольного числа попарно независимых переменных. Например,
Х 1Х 2 Х3 - минтерм 3-его ранга
–это не минтерм, так как переменные изависимые.
Для аналитической записи функций используют две формы:
1) Дизъюнктивную Нормальную Форму - ДНФ
2) Конъюнктивную Нормальную Форму – КНФ
ДНФ это дизъюнкция минтермов различного ранга
КНФ это конъюнкция макстермов различного ранга
Если все термы, входящие в нормальную форму имеют одинаковый и максимальный ранг, равный числу переменных функции - n, то такая форма называется совершенной. При этом, минтерм называется констинтуентой (составляющей) единицы (КЕ), а макстерм - конституентой нуля (КН).
- это СДНФ
- это СКНФ
Таким образом, совершенная дизъюнктивная нормальная форма - есть дизъюнкция конституент единицы, а СКНФ - есть конъюнкция конституент нуля.
Совершенные формы составляются по таблице истинности функции. СДНФ составляется по такому правилу: для каждого набора переменных, на котором функция истинна, записывают минтерм ранга n , в котором с отрицанием берутся переменные имеющие нулевые значения на данном наборе. Все минтермы объединяют дизъюнктивно.
Пусть, например, имеем произвольную функцию трёх переменных, заданную такой таблицей истинности (рис. 1.19):
№\X |
a |
b |
c |
f |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
6 |
1 |
1 |
0 |
1 |
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Рисунок 1.19 – Таблица истинности произвольной функции
Для номеров наборов N= 1, 3, 6 и 7 получаем следующую СДНФ:
СКНФ также записывают по таблице истинности по правилу:
для каждого набора переменных, на котором функция ложна, записывают макстерм ранга n, в котором с отрицанием берутся переменные, имеющие единичные значения на данном наборе. Все макстермы объединяют конъюнктивно. Тогда, для этой же функции, для номеров наборов N = 0, 2, 4 и 5 получаем СКНФ:
Очевидно, что СДНФ и СКНФ полностью дуальны.
Для компактной записи функций используют числовую форму, в которой задаются только номера наборов. Числовая форма для СДНФ:
Числовая форма для СКНФ: