ЦОС Практики 2015 - Задания 1 и 2
.docxЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Задания к практическим занятиям
Раздел 1. Спектральный анализ
Задание №1
Тема: Спектральный анализ
Постановка задачи
-
Задать амплитуды Ak, частоты fk (Гц) и начальные фазы k (–π…+π) пяти-семи (m) гармоник полигармонического сигнала.
-
Задать частоту дискретизации fd (Гц). Частота дискретизации должна быть более чем в два раза выше частоты верхней гармоники.
-
Задать число отсчетов N и длительность сигнала T, учитывая соотношение fd = N/T.
-
Сгенерировать полигармонический сигнал
где ti = ti – время i-го отсчета, i = 0…N–1;
t = T/N – шаг во времени между отсчетами, сек.
-
Построить график временной реализации сигнала.
-
Получить комплексный спектр с помощью преобразования Фурье, используя функцию FFT (см. Приложение)
-
Выделить из комплексного спектра амплитуды и фазы гармоник. Определить частоты гармоник в Гц.
-
Построить амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.
-
Сравнить полученные характеристики с исходными значениями амплитуд, частот и начальных фаз гармоник полигармонического сигнала.
-
Получить комплексный спектр, используя функцию СFFT. Выделить из комплексного спектра амплитуды и фазы гармоник. Совместить полученные спектры на одном графике.
-
Отобразить на графике спектр сигнала в виде, когда часть спектра выше частоты Найквиста (половина частоты дискретизации) отображается в области отрицательных частот ( K(k) = if( k≤M/2, k, k–M) ).
-
Используя формулу полигармонического сигнала, сгенерировать сигнал на основании амплитуд и фаз, найденных в пп.7 и 10. Наложить результат на график исходного сигнала. Добиться совпадения сигналов.
Задание №2
Тема: Исследование свойств преобразования Фурье
Постановка задачи
Примечание: обозначения в изложении задания не совпадают с формой записи обращения к массивам и их компонентам!
Используя наработки первого задания, выполнить исследование свойств ПФ (ДПФ), для чего
а) выполнить преобразование спектра S(k)→F(k) (или X(k)→Y(k)) согласно формуле по свойству;
б) выполнить преобразование сигнала s(i)→f(i) (или x(i)→y(i)) согласно формуле по свойству и найти спектр результата F1(k) (или Y1(k));
в) наложить результирующие спектры на одном графике, убедиться в идентичности.
Исследуемые свойства
1. Свойство А4. Изменение масштаба времени
2. Свойство А10. Спектр модулированного сигнала
3. Свойство Д1. Дополнение нулями.
Для этого свойства нужно сравнить спектры сигнала без и с дополнением нулями.
4. Свойство Д4. Круговая свертка двух последовательностей
5. Свойство Д5. Свойство частотного сдвига
6. Свойство Д6. Инверсия спектра действительного сигнала
К умножению на ejΩt.
Сдвиг спектра умножением на комплексную экспоненту сдвигает все части спектра (и положительные и отрицательные частоты) в одну сторону. При этом ненулевые гармоники из отрицательной части спектра могут переходить в область положительных частот.
Если требуется выполнить сдвиг спектра действительного сигнала только в рамках положительных частот, сигнал из действительного (с симметричным спектром) преобразуется в комплексный с несимметричным спектром с нулевой частью отрицательных частот и удвоенными амплитудами положительных частот. Мнимая добавка к сигналу есть результат преобразования Гильберта от действительного сигнала. После выполнения сдвига (во временной области) несимметричного спектра, сигнал из комплексного преобразуется в действительный путем отбрасывания мнимой части.
Преобразование Гильберта [4, тема 17]:
Ортогональное дополнение сигнала (http://www.dsplib.ru/content/hilbert/hilbert.html):
Обратное преобразование:
Выделение действительного сигнала из комплектного:
Функция Hilbert() выполняет преобразование Гильберта в MathCAD
Литература
-
Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов учебное пособие для вузов. — СПб. Питер, 2007. (Расстановочный шифр 621.39 С323, Bib Id 65599)
-
Стивен Смит Цифровая обработка сигналов практическое руководство для инженеров и научных работников; пер. с англ. Ю. А. Линовича, С. В. Витязева, И. С. Гусинского. — М. Додэка-XXI, 2011. (Расстановочный шифр 621.37 C509, Bib Id 162582)
-
Яковлев А.Н. Основы теории сигналов в примерах, упражнениях и заданиях [учебное пособие для радиотехнических направлений и специальностей]. — Новосибирск Изд-во НГТУ, 2012. (Расстановочный шифр 621.37 Я474, Bib Id 174664)
-
Давыдов А.В. Сигналы и линейные системы: Тематические лекции. / Екатеринбург: УГГУ, ИГиГ, кафедра геоинформатики. – 2008. / http://prodav.exponenta.ru/signals/index.html
-
Давыдов А.В. Цифровая обработка сигналов: Тематические лекции. / Екатеринбург: УГГУ, ИГиГ, кафедра геоинформатики. – 2007. / http://prodav.exponenta.ru/dsp/index.html
-
Глинченко, А. С. Цифровая обработка сигналов. Версия 1.0 [Электронный ресурс] : курс лекций / А. С. Глинченко. – Электрон. дан. (3 Мб). – Красноярск : ИПК СФУ, 2008. – url: . http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/50/u_lectures.pdf
-
Васюков В.Н. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессы в системах подвижной радиосвязи [учебник]. — Новосибирск Изд-во НГТУ, 2006. (Расстановочный шифр 621.37 В201, Bib Id 62388)
-
Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб для вузов по спец «Радиотехника». — М.: Высш. школа, 2000.
-
Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.:Сов.радио, 1967
-
Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 584 с.
Приложения
Справочник по функциям MathCAD
Преобразование Фурье
Прямое преобразование |
Обратное преобразование |
||
Функция |
Формула |
Функция |
Формула |
c := FFT(x) |
x := IFFT(c) |
||
c := fft(x) |
x := ifft(c) |
x – действительный массив временных отсчетов размерностью N;
N – число временных отсчетов, N = 2m ;
i – номер временного отсчета от 0 до N–1;
c – массив комплексных коэффициентов спектра размерностью M+1;
M=N/2 – число гармоник половины спектра (до частоты Найквиста);
k – номер гармоники от 0 до M;
ak = Ak cosk – синфазная компонента;
bk = Ak sink – квадратурная компонента;
– амплитуда k-той гармоники;
k = atan( bk / ak ) – фаза k-той гармоники
ak = Re(ck) – связь синфазной компоненты с комплексным коэффициентом;
bk = Im(ck) – связь квадратурной компоненты с комплексным коэффициентом “–” в случае Ak cos(kω1t+k), “+” в случае Ak cos(kω1t–k);
T – длительность сигнала, сек;
t = T/N – шаг во времени между отсчетами, сек;
ti = ti – время i-го отсчета;
f1 = 1/T – частота первой гармоники;
fk = f1k – частота k-той гармоники, Гц;
fd = N/T – частота дискретизации, Гц;
ω = 2πf – круговая частота, рад/с;
ωkti = ω1k × ti = 2π/Tk × T/Ni = 2π/N × k × i безразмерная величина.
Прямое преобразование |
Обратное преобразование |
||
Функция |
Формула |
Функция |
Формула |
c := CFFT(x) |
x := ICFFT(c) |
||
c := cfft(x) |
x := icfft(c) |
x – комплексный массив временных отсчетов размерностью N;
N – число временных отсчетов, N – произвольное целое число ;
i – номер временного отсчета от 0 до N–1;
c – массив комплексных коэффициентов спектра размерностью M;
M=N – число гармоник спектра от нулевой до частоты дискретизации (не включая);
k – номер гармоники от 0 до M–1;
Функции работы со звуковыми файлами в MathCAD
Функция GETWAVINFO(filename) возвращает вектор из четырех чисел:
- number of channels — число каналов (1-моно или 2-стерео)
- the sample rate — частота дискретизации, Гц (11025, 22050, 44100)
- the bit resolution — число бит на отсчет (8, 16)
- the average bytes per second for a WAV file — число бит в секунду
Функция READWAV(filename) возвращает вектор отсчетов или матрицу из двух столбцов для стереосигнала.
Функция WRITEWAV(filename, rate, res) := x выводит массив x в файл.
Примечание
Для разрешения 8 бит на отсчет значения отсчетов должны быть в диапазоне от 0 до 255.
Для разрешения 16 бит на отсчет значения отсчетов должны быть в диапазоне от –32768 до +32767.