Лекция дискрет 09
.pdf
Конструкция кубика |
Аналогично, каждый из 12 |
показывает, что каждый из |
средних кубиков может оказаться |
8 угловых кубиков может |
в позиции любого из своих |
занимать одну из 8 позиций, |
«сородичей», т.е. имеет 12 |
т.е. оказаться в любом углу |
возможных местоположений |
большого кубика |
|
Наконец, кубики в центре |
|
каждой из шести граней |
|
большого кубика не имеют |
|
самостоятельной свободы |
|
позиционирования, т.к. их |
|
присутствие на той или |
|
иной грани – следствие |
|
перемещения средних |
|
кубиков. |
|
Пусть кубик находится в начальном состоянии. Занумеруем его угловые кубики в каком-либо порядке числами 1, 2, ..., 8, а средние - числами 9, 10, ..., 20. Этими же числами занумеруем места, на которых стоят маленькие кубики.
Любое состояние куба после этого можно характеризовать перестановкой, указывающей номера угловых и средних кубиков, стоящих при этом состоянии на местах 1…20.
Если в состоянии S на месте с номером k стоит кубик с номером jk (k=1…20), то этому состоянию однозначно ставится в соответствие подстановка
fi = |
1 |
2 |
3 |
……… |
20 |
|
j1 |
j2 |
jk |
……… |
j20 |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Конструктивно: изменение состояния - поворот одной из плит на углы 90°, 180° или 270°
Композиция подстановок - последовательные повороты, отсюда: ассоциативность и коммутативность. Нейтральная подстановка – ничего не вращать, обратная подстановка – повернуть ту же плиту в обратную сторону на тот же угол
Итак, абелева группа вращений кубика Рубика
По конструкции кубика Рубика: средние маленькие кубики при всех перемещениях занимают вновь средние позиции, угловые кубики – вновь угловые. Поэтому подстановки
fi = |
1 |
2 |
3 |
……… |
20 |
|
j1 |
j2 |
jk |
……… |
j20 |
||
|
можно представить суммой подстановок меньшего порядка:
fi = |
1 |
… |
8 |
fi = |
9 |
… 20 |
|
j1 |
… |
j8 |
j9 |
… j20 |
|||
|
|
Общее количество состояний кубика Рубика с учётом того, что угловые кубики имеют по три возможных позиции, а средние – по две, рассчитывается как
[ ( 8! 38 ) ( 12! 212 ) ] / [ 3 2 2 ] =
=43 252 003 274 489 856 000 =
=227 314 53 72 11 4,32 1019
N.B.: 1000 миллиардов лет 3,15 1019 секунд
Алгоритм Коцемба (Германия): Любая конфигурация может быть решена не более чем за 20 ходов
На основе алгоритма Коцемба при помощи инженерного конструктора FAC System и
микрокомпьютера
Raspberry Pi Уилберт Свинкелс (Нидерланды) и Максим Цой (Россия) создали робота для решения кубика Рубика.
4 4 4
Rubik's Revenge - «Месть Рубика»
Количество конфигураций
[ 8! 37 24!2 ] / [ 4!6 24 ]7,4 1045
12-цветный мегаминкс
Количество конфигураций
1068
4) Конечные группы в криптографии
Шифр Юлия Цезаря
Шифр замены: j-ая буква латинского алфавита шифруется j+h (mod 26)-ой буквой того же алфавита, пробелы игнорируются
Ключ шифра – шаг сдвига h
Замена - применением подстановки (в примере h=3)
A B C D …….. W X Y Z
D E F G …….. Z A B C
Пример: |
V E N I V I D I V I C I |
|
|
В русскоязычном варианте: |
Y H Q L Y L G L Y L F L |
|
|
П Р И Ш Ё Л У В И Д Е Л П О Б Е Д И Л |
|
Т У Л Ы И О Ц Е Л Ж З О Т С Д З Ж Л О Очевидно, шифр чувствителен к частотному анализу
Шифр Вижинера
(Блез де Вижинер, эпоха Генриха III Валуа, Франция, конец XVI века)
Развитие шифра Цезаря применением переменной величины сдвига, которая
задаётся ключевым словом. Например, слово ВАГОН означает такую последовательность сдвига букв
исходного текста: 3-1-4-13-12, затем снова 3-1-4-13-12 и так далее:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К Р |
И П Т |
|
О Г Р А Ф |
|
И Я |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3 |
+1 |
+4 |
+13 |
+12 |
|
|
+3 |
+1 |
+4 |
+13 |
+12 |
|
|
+3 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Н С |
С Р Х |
|
П Л С Г Х |
|
С А |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, шифрование путём |
|
ai |
aj |
ak |
al |
|
am |
|||||||||
применения преобразования |
|
ai+3 |
aj+1 |
ak+4 |
al+13 am+12 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||