Лекция дискрет 10

Логические формулы, представляющие одну и ту же логическую функцию – эквивалентные (равносильные)

Логическая формула, представляющая константу 1 (φ3 или ψ15) - тавтология

Логическая формула, представляющая константу 0 (φ0 или ψ0) - противоречие

Вспомогательные сведения для дальнейшего

Th.3.1.1 Всякая логическая функция f (x1, x2, … , xn) может быть представлена в виде

f (x1, x2, … , xm, xm+1, … , xn) =

= (x1α1 & … & xmαm & f (α1, … , αm, xm+1, … , xn)) (▼)

α1...αm

Здесь: m n; дизъюнкция берётся по всем 2m наборам значений переменных α1, … , αm

Равенство (▼) – разложение функции f (x1, … , xn) по переменным x1, … , xm

Формула

(x1α1 & … & xmαm & f (α1, … , αm, xm+1, … , xn)) α1...αm

- дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) ф-ии f (x1, … , xn)

Доказательство Th.3.1.1

Подставим в левую и правую части равенства (▼) произвольный набор значений (σ1, … , σm, σm+1, … , σn):

В правой части (▼▼) присутствуют 2m конъюнкций, каждая из которых соответствует набору значений α1, … , αm, в том числе ровно одна конъюнкция такая, что αi = σi для всех i=1…m, т.е. в результате вычисления будет получено σ1α1 & … & σmαm = 1

В каждой из остальных (2m- 1) конъюнкций хотя бы для одного значения j=1…m имеет место αj σj, значит, σjαj = 0, следовательно, σ1α1 & … & σmαm = 0

В результате вычисления значений σ1α1 & … & σmαm для всех наборов α1...αm равенство (▼▼) принимает вид

f(σ1, σ2, … , σm, σm+1, … , σn) =

=σ1α1 & … & σmαm & f (α1, … , αm, σm+1, … , σn)

ас учётом равенства αi = σi для всех i=1…m и того, что при x = α имеет место xα = 1, получаем:

f(σ1, σ2, … , σm, σm+1, … , σn) =

=σ1σ1 & … & σmσm & f (σ1, … , σm, σm+1, … , σn) =

=f (σ1, σ2, … , σm, σm+1, … , σn)

Набор значений (σ1, σ2, … , σm, σm+1, … , σn) – произвольный, поэтому разложение (▼) доказано

Доказано Th.3.1.1

Пример Разложение функции f(w,x,y,z) = (w x) & (y z)

Таким образом f (w, x, y, z) = (w x) & (y z) =

=( w & x & (0 0) & (y z)) ( w & x & (0 1) & (y z))

(w & x & (1 0) & (y z)) (w & x & (1 1) & (y z)) =

=( w & x & (y z)) (w & x & (y z)) (w & x & (y z))

Здесь: дизъюнкция берётся по всем наборам значений переменных (1,…, n), для которых выполнено f(1,…, n)= 1

Равенство (▼▼▼) – совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) функции f (x1, … , xn)

Из (▼▼▼) очевидно: не имеет СДНФ единственная функция

– та, для которой f (x1, … , xn) 0, т.е. константа 0

{ 0, 1 }

СДНФ (▼▼▼) функции f (x1, … , xn) содержит ровно столько конъюнкций, сколько единиц в векторе значений функции f (x1, … , xn)

Если σi = 1, в качестве xiσi принимается xi

Если σi = 0, в качестве xiσi принимается xi