Однофакторный дисперсионный анализ.

Пусть на количественный нормально распределённый признак X воздействует фактор F, который имеет p постоянных уровнейF_1, F₂ F_3 F_p. На каждом уровне произведено по q испытаний.

Результаты наблюдений - числа x_ij =где i– номер испытания (i=1,2,,q), j-номер фактора (j=1,2,,p), записывают в виде таблицы:

Номер испытания	Уровни фактора
i	F1	F2		Fp
1	x11	X1		Xp
2	X21	X22		X2p
				
q	xq1	Xq2		Xqp
Групповая средяя			

Ставится задача: на уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних при допущении, что групповые генеральные дисперсии хотя и неизвестны, но одинаковы. Для этой задачи вводится общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от общей средней.

Факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней (характеризует рассеяние между “группами”)

Остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней (характеризует рассеяние “внутри группы”)

Практически остаточную сумму находят по формуле:

S_ост=S_общ-S_факт

Для вычисления общей и факторной сумм более удобны следующие формулы:

где – сумма квадратов наблюдаемых значений признака на уровнеF_j -сумма наблюдаемых значений признака на уровнеF_j.

Если наблюдаемые значения признака сравнительно больше числа, то для упрощения вычислений вычитают из каждого наблюдаемого значения одно и то же число C, примерно равное общей средней. Если уменьшенные значения , то

где – сумма квадратов уменьшенных значений признака на уровнеF_j; - сумма уменьшенных значений признака на уровнеF_j.

Разделив уже вычисленные факторную и остаточную сумм на соответствующее число степеней свободы, находят факторную и остаточную дисперсии.

,

Сравниваем факторную и остаточную дисперсии по критерию Фишера – Снедекора.

Если различие групповых средних незначимое

Если различие групповых средних значимое.

Пример выполнения лабораторной работы №7

Цель работы: Овладеть методами однофакторного анализа для одинакового числа испытаний на всех уровнях.

Задание: Произведено по 4 испытания на каждом из трёх уровней фактора F .

Методом дисперсионного анализа, при уровне значимости 0,05 , проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

Результаты испытаний приведены в таблице.

Номер испытания	Уровни фактора
I	F1	F2	F3
1	38	20	21
2	36	24	22
3	35	26	31
4	31	30	34
	35	25	27

Прядок выполнения работы.

1.Общая средняя

2.Для упрощения расчёта перейдём к уменьшенным величинам

y₁₁=38-29=9 ,y₂₁=36-29=7 и т.д.

Составим расчётную таблицу

Номер испытания	Уровни фактора						Итоговый столбец
	F1		F2		F3
I	yi1	yi12	yi2	yi22	yi3	yi32
1 2 3 4	9 7 6 2	81 49 36 4	-9 -5 -3 1	81 25 9 1	-8 -7 2 5	64 49 4 25
Sj=yij2		170		116		142	Sj=428
Tj=yij	24		-16		-8		Tj=0
Tj2	576		256		64		Tj2=896

=