Практическая работа №13 «Решение задач на доверительный интервал».

Если в процессе эксперимента для статистики получено некоторое значение, то значит оно принадлежит области I_, вероятность которой близка к 1. Эту вероятность называютдоверительной вероятностью. Её обозначают. По ней строят интервал, накрывающий значение оцениваемого параметра с вероятностью. Его и называютдоверительным интервалом с уровнем доверия . ОбластьI_ и доверительный интервал по ней строятся в соответствии с распределением вероятностей используемой статистики.

Величина уровня доверия влияет на величину интервала: чем больше уровень доверия, тем шире интервал. Уровень доверия выбирается из соображений допустимого риска.

Формула для доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения с уровнем довериядля случая, когдаизвестно среднеквадратическое отклонениераспределения:

(1)

Формула для доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения с уровнем довериядля случая, когдасреднеквадратическое отклонениераспределениянеизвестно:

(2)

Пример. Для проверки фасовочной установки были отобраны и взвешены 20 упаковок. Получены следующие результаты (в граммах):

246	247	247,3	247,4	251,7	252,5	252,6	252,8	252,8	252,9
253	253,6	254,6	254,7	254,8	256,1	256,3	256,8	257,4	259,2

Найти доверительный интервал для математического ожидания с надёжностью 0,95, предполагая, что измеряемая величина распределена нормально.

Решение. Находим точечные оценкиaи:

Определяем по таблице распределения Стьюдента для доверительной вероятности =0,95 и числу степеней свободы (n-1)=19 соответствующее значениеt_=2,093 и по формуле находим искомый интервал:

или 251,27 а 254,69.

Практическая работа №14 «Расчёт сводных характеристик выборки методом произведений».

Признак – это основная отличительная черта, особенность изучаемого явления или процесса. Количественное представление признака называетсяпоказателем.

Результативный признак – исследуемый показатель процесса, характеризующий эффективность процесса.

Факторный признак – показатель, влияющий на значение результативного показателя.

Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака (Y) от факторных (x₁,x₂, …,x_n), выражаемой в виде уравнения регрессии:

Y = f(x₁, x₂, …, x_n).

Для характеристики связей между признаками используют следующие типы функций:

- линейную ;

- гиперболическую ;

- показательную ;

- параболическую ;

- степенную .

Линейная функция используется в случае, если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, гиперболическая – если связь между Yиx, наоборот, обратная. Параболическая или степенная функция применяются, если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный значительно быстрее.

Линейная однофакторная регрессия:. Для нахождения параметровa₀и а₁используютметод наименьших квадратов.Сущность метода заключается в нахождении параметровa₀и а₁, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии. Величину параметровa₀и а₁находим как решение системы нормальных уравнений:

, где n– объём исследуемой совокупности.

В уравнении регрессии свободный член регрессии коэффициентa₀показывает совокупное влияние на результативный признак неучтённых (не выделенных для исследования) факторов; его вклад в значение результирующего показателя не зависит от изменения факторов; параметр а₁ – коэффициент регрессии – показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость междуxиYлинейная, определить значения коэффициентовa₀и а₁:

х	1	4	7	11	15	17	22
Y	3	6	10	14	18	24	30

Решение. Для определения величинa₀и а₁необходимо вычислить следующие значения:х,Y,xY,х². Расчёты рекомендуется проводить вExcelи оформлять в виде таблицы:

№ п/п	х	Y	х2	xY
1	1	3	1	3	2,07
2	4	6	16	24	5,92
3	7	10	49	70	9,77
4	11	14	121	154	14,91
5	15	18	225	270	20,05
6	17	24	289	408	22,61
7	22	30	484	660	29,03
Итого	77	105	1185	1589	104,36

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения:a₀=0,876, а₁=1,284. Следовательно,=0,876+1,284х.Т.к. а₁>0, связь между признаками прямая (в случае обратной связи коэффициент регрессии отрицательный). При увеличениихна единицу,- увеличивается на 1,284. Линейную модель удобно представлять графически: