Практическая работа №10 «Вычисление плотности распределения одного случайного аргумента».

Функцией распределения двумерной случайной величины (X,Y) называют вероятность совместного выполнения двух неравенств:

F(x, y) = P{X<x, Y<y}.

Плотность распределения двумерной случайной величинывычисляется как вторая смешанная частная производная функции распределения:

f(x,y) = F_xy(x,y).

Выражение функции распределения через плотность:

Свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения двумерного случайного вектора есть функция неотрицательная: f(x,y) 0.

2. Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения двумерного случайного вектора равен единице:

3. Плотности распределения компонент случайного вектора могут быть получены по формулам:

,

Закон распределения дискретного случайного вектора (X,Y) – это совокупность всех возможных значений случайного вектора (X,Y) и их вероятностей:

p_ij=P{X=x_i, Y=y_j}, где i=1, 2, …, n, j=1, 2, …, m.

n, m – число возможных значений случайных величинXиY.

Так же, как и в непрерывном случае:

, ,.

Пример 1. Качество продукции характеризуется двумя случайными величинами:XиY. Закон распределения случайного вектора (X,Y) представлен в таблице:

yj xi	0	0,1	0,2	0,3	pi
5	0,2	0,1	0,05	0,05	0,4
6	0	0,15	0,15	0,1	0,4
7	0	0	0,1	0,1	0,2
pj	0,2	0,25	0,3	0,25

На пересечении i-той строки иj-того столбца таблицы находятся вероятностиp_ij=P{X=x_i, Y=y_j}.

Найти закон распределения координат XиYслучайного вектора.

Решение. Вероятность события{X=x_i}=p_i,есть сумма вероятностей, находящихся вi-той строке. Вероятностиp_iнаходятся в последнем столбце таблицы.

Ряд распределения случайной величины Xимеет вид:

xi	5	6	7
pi	0,4	0,4	0,2

Ряд распределения Yнаходим, вычисляя суммы элементов столбцов таблицы. Эти вероятностиp_jнаходятся в последней строке таблицы.

Ряд распределения случайной величины Yимеет вид:

yj	0	0,1	0,2	0,3
pj	0,2	0,25	0,3	0,25

Условное распределение компонент дискретного случайного вектора (X,Y) – это ряд распределения одной случайной величины, вычисленной при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение, а именно:

;

Пример 2. В условиях закон распределения дискретного случайного вектора (X,Y) из примера 1, найти условное распределение случайной величиныXпри условии, что случайная величинаYприняла значениеy₂=0,1.

Решение. Выбрав значенияp_i2из столбца таблицы, соответствующего значениюy₂=0,1, и разделив их на 0,25, получаем следующее условное распределениеXпри условии, чтоY=0,1:

xi	5	6
pX(xi|y2)	0,4	0,6