Практическая работа №15 «Расчёт сводных характеристик выборки методом сумм».

Однофакторная параболическая модель второй степени - параболическая регрессия применяется, если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный значительно быстрее. В этом случае уравнение регрессии будет иметь вид:

;

В данном случае задача сводится к определению неизвестных параметров: а₀, а₁,. Величину параметровa₀, а₁ и а₂ находим как решение системы нормальных уравнений:

,

Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость междуxиYпараболическая, определить значения коэффициентовa₀, а₁ и а₂:

х	1	2	3	4	5	7	10	14	17	23
Y	1	3	6	7	8	11	16	21	27	39

Решение. Для определения величинa₀, а₁ и а₂необходимо вычислить следующие значения:х,Y,xY,х²,х³,x⁴,х²Y. Расчёты рекомендуется проводить вExcelи оформлять в виде таблицы:

№ п/п	х	Y	xY	х2	х2Y	х3	x4		= Y -
1	1	1	1	1	1	1	1	2,098	-1,098
2	2	3	6	4	12	8	16	3,488	-0,488
3	3	6	18	9	54	27	81	4,903	1,097
4	4	7	28	16	102	64	256	6,344	0,656
5	5	8	40	25	200	125	725	7,809	0,191
6	7	11	77	49	539	343	2401	10,815	0,185
7	10	16	160	100	1600	1000	10000	15,51	0,49
8	14	21	294	196	4116	2744	38416	22,13	-1,13
9	17	27	459	289	7803	4913	83521	27,36	-0,36
10	23	39	897	529	20631	12167	279841	38,5	0,5
Итого	86	139	1980	1218	35058	21392	415258

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения:a₀=0,734, а₁=1,352, а₂=0,0126. Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:=0,734+1,352х+0,0126х².Из таблицы видно, что вычисленные по уравнению регрессии значениянезначительно отличаются от эмпирических данных.

Оценка обратной зависимости между Yиx, может быть дана на основе уравнения гиперболы:

Величину параметров a₀и а₁находим как решение системы нормальных уравнений:

,

Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость междуxиYвыражается уравнением гиперболы, определить значения коэффициентовa₀и а₁:

х	1	3	4	6	7	9	10
Y	14	11	11	9	8	7	5

Решение. Для определения величинa₀и а₁расчёты рекомендуется проводить вExcelи оформлять в виде таблицы:

№ п/п	х	Y	1/х	Y/х	1/х2		i
1	1	14	1	14	1	9,73	4,27
2	3	11	0,33	3,67	0,11	9,26	1,74
3	4	11	0,25	2,75	0,062	9,20	1,80
4	6	9	0,67	1,5	0,028	9,13	-0,13
5	7	8	0,14	1,14	0,02	9,12	-1,12
6	9	7	0,11	0,78	0,012	9,10	-2,1
7	10	5	0,10	0,5	0,01	9,09	-4,09
Итого	40	65	2,6	24,34	1,242	64,63

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения:a₀=9,02, а₁=0,71. Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:=9,02+0,71/х.