1.Задачи ,приводящие к понятию производной:

а)о скорости движения материальной точки

б) об угле наклона касательной к графику функции

А.Пусть некоторая материальная точка совершает прямолинейное движение. В момент времени t1 точка находится в положении М1. В момент времени t2 в положении М2. Обозначим промежуток М1,М2 через ΔS ; t2-t1=Δt . Величина ΔS/Δt называется средней скоростью движения. Чтобы найти мгновенную скорость точки в положении М1 необходимо Δt устремить к нулю. Математически это значит, что: V_M1=, таким образом , для нахождения мгновенной скорости материальной точки необходимо вычислить предел отношения приращения функции ΔS к приращению аргумента Δt при условии ,что Δt →0.

Б.График:

Рассмотрим график некоторой функции y=f(x). В точке М1 проведем касательную к графику функции. На графике выберем производную М2 и проведем секущую . Она наклонена к оси ОХ под углом α1. Рассмотрим ΔM₁M₂A: tgα1=Если точку М1 фиксировать, а точку М2 приближать к М1 , то секущая М1М2 будет переходить в касательную к графику функции в точке М1 и можно записать:tgα=.Предел отношения приращения △у функции у=f(x) к приращению аргумента △x в заданной точке х0 при стремлении △х к нулю, называется производной функции в заданной точке. Обозначения производной: y’,f’(x),По определениюy’=, где Δх=х2-х1-приращение аргумента, Δу=у2-у1-приращение функции.

2.Производная функции.Геометрический и механический смыслы производной.Производные основных элементарных функций.Производная сложной функции.

Предел отношения приращения △у ФУНКЦИИ У=f(x) к приращению аргумента △x в заданной точке х0 при стремлении △х к нулю, называется производной функции в заданной точке . Обозначения производной : ______________________________

_______________________________________________ ,где

Нахождения производной функции называется дифференцированием.Дифференциирование основных элементарных функций проводится по формулам и правилам :

1,(u+v+w) '=u '+v '+w '

2. (u v)=u '+v '+w '

3.

Геометрический смысл производной.  

Величину тангенса угла наклона касательной ,проведенной к графику функции,в математике называют угловым коэффицентом касательной . Угловой коэффицент касательной ,проведенной к графику дифференцируемой функции в некоторой точке ,численно равен производной функции в данной точке

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t₀  до  t₀ +   точка перемещается на расстояние:  x ( t₀ + ) - x ( t₀ ) = , а её средняя скорость равна:  v_a =  /  . При  0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t₀ )  материальной точки в момент времени  t₀ . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,  v ( t₀ ) = x’ ( t₀ ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости повремени:  a = v’ ( t ).

Производная сложной функции .Из элементарных функций образуются сложные функции .Например ,задана функция y=f(u),где u в свою очередб зависит от х , т.е u=φ(x). Тогда,при изменении х будут меняться u и y .В этом члучае заданная функция y=f(u) называется СЛОЖНОЙ и обозначается y=f{ φ(x)}.Величина u называется ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .тогда : y ' =y ' u * u ' x