Тема 10. Анализ тенденций развития и колебаний

По данной теме планируется одна лекция и одно практическое занятие. Самостоятельная расчетная работа выполняется дома по индивидуальным вариантам и представляется преподавателю для проверки. Для ее выполнения используется методическая разработка кафедры статистики «Ряды динамики» [3].

Студент должен подготовиться к практическому занятию по следующим вопросам.

Вопросы для самостоятельной подготовки и рассмотрения на практическом занятии

1. Проверка ряда динамики на наличие тенденции.

2. Ранжирование показателей времени.

3. Аналитическое выравнивание ряда. Экстраполяция и интерполяция.

4. Методы вычисления индексов сезонности.

Литература: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 11.

Терминологический словарь

Тенденция (тренд) – основное направление развития, которое складывается в рядах динамики под стойким воздействием внешних причин и сохраняется в течение определенного времени. На поверхности явлений создается впечатление, что уровень ряда динамики изменяется в зависимости от течения времени.

Экстраполяция – перенесение тенденции, которая сложилась в прошлом, на будущее.

Интерполяция – перенесение тенденции, которая сложилась, в прошлое.

Сезонность – существенное циклическое изменение количественных значений показателя в зависимости от сезона года.

Методические рекомендации к решению типовых задач по теме

Время рассматривают как фактор, под влиянием которого увеличивается или уменьшается уровень динамического ряда:

,

где t = 0, 1, 2 . . . . n – значение переменной времени;

–теоретические уровни ряда, рассчитанные по уравнению тренда.

Студент должен усвоить способы и приемы выбора функционального вида тренда. В индивидуальном задании для самостоятельной работы, как правило, предусмотрено использование линейного тренда .

Параметры уравнения тренда рассчитывают по методу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений имеет вид:

na + b t = у

а  t + b t ² = уt.

Если число уровней ряда динамики нечетное, то центральный уровень ряда принимают за базисный. Счет времени переносят в середину ряда: t срединное принимается равным 0; предшествующим срединному значениям присваиваются отрицательные ранги, а следующим за ним – положительные, тогда

 t = 0; ;.

Этапы аналитического выравнивания:

1. Построение эмпирического ряда динамики из фактических уровней.

2. Проверка ряда на наличие тенденции, например по критерию Кокса-Стюарта.

3. Выбор функционального вида тренда.

4. Расчет параметров трендового уравнения: а – ?; b – ?

Если значение переменной времени t обозначено порядковыми рангами, то

 t = (1 + n)n/2; у = ;

 t ² = 1/12 n ( – 1) – если ранги времени центрируются и

 t ² = – если ранги времени порядковые;

= .

Пример обозначения периодов времени: :

порядковыми рангами = 1, 2, 3, 4, 5

центрируемыми рангами = -2, -1, 0, 1, 2.

5. Проверка тесноты и существенности связи.

Для проверки тесноты связи, как правило, применяют теоретический коэффициент детерминации:

и теоретическое корреляционное отношение R = .

Для оценки существенности связи можно использовать таблицы критических значений коэффициента детерминации , или рассчитатьF – критерий Фишера:

,

где  – число степеней свободы для дисперсии теоретических значений

, где m число параметров в уравнении тренда (обычно m = 2, для параболы m = 3)

–число степеней свободы для остаточной дисперсии; ,

где n – число уровней ряда динамики.

Если , то связь признается существенной.

6. Если связь вариации с переменной временипризнана существенной, то тенденцию можно продлить за пределы эмпирического динамического ряда в будущее (экстраполировать тренд). Это делается с целью прогнозирования. При этом прогнозные значенияполучают из уравнения тренда, в котором принимают, где  – период упреждения прогноза.

7. Качество прогноза оценивают по относительной ошибке аппроксимации, которая не должна превышать 15 %, в крайнем случае допустимым значением считается = 30 %

.

8. Доверительные пределы прогнозного интервала устанавливают с помощью среднеквадратической ошибки прогноза.

Студент должен уметь объяснить значение всех перечисленных показателей.

Пример. Известны условные данные об объемах экспорта из страны:

Год (t)	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Экспорт, (у) млн долл.	230,0	238,0	252,0	245,0	273,0	269,0

С помощью аналитического выравнивания определите экспортную возможность страны на 2007 г., вычислите критерий Фишера, относительную ошибку аппроксимации, предельную ошибку модели для уровня существенности  = 0,05, сделайте выводы.

1. Проверяем динамический ряд на наличие тренда по критерию Кокса-Стюарта:

230; 238; 252; 245; 273; 269;

I треть ІІІ треть

273  230 «+» 2 «+»

269  238 «+» 0 «– »,

то есть наблюдается тенденция к росту ряда.

2.  Обозначим фактор времени как «t» и ранжируем ряд от 1 до n: 1; 2; 3; 4; 5; 6.

3. Построим корреляционное поле:

Тенденция может быть аппроксимирована по прямой:

.

4. Вычислим параметры а и b из системы уравнений:

Вспомогательная таблица:

Время t	Экспорт, у	t 2	yt
1	230	1	230	52 900	230,2	0,09	0,04
2	238	4	476	56 644	238,6	0,25	0,36
3	252	9	756	63 504	246,9	2,02	26,01
4	245	16	980	60 025	255,3	4,20	106,09
5	273	25	1365	74 529	263,7	3,41	86,49
6	269	36	1614	72 361	272,1	1,15	9,61
21	1507	91	5421	379 963	1 507,0	11,12	228,60

–5b = – 41,9 b = 8,38

а = 221,8

.

Ежегодно оборот по экспорту в среднем растет на 8,38 млн долл. США. А теоретические (по уравнению) объемы экспорта составляют:

= 221,8 + 8,38 · 1 = 230,2 = 221,8 + 8,38 · 4 = 255,3

= 221,8 + 8,38 · 2 = 238,6 = 221,8 + 8,38 · 5 = 263,7

= 221,8 + 8,38 · 3 = 246,9 =221,8 + 8,38 · 6 = 272,1

5. Для проверки существенности связи найдем теоретический коэффициент детерминации:

,

где – общая дисперсия экспорта:

–остаточная дисперсия экспорта:

Это значит, что на 84,3 % объемы экспорта обусловлены трендом, который сложился в динамическом ряду.

F – критерий Фишера:

,

где n – число лет = 6;

m – число параметров линейного тренда ( их 2: а и b).

.

Табличное, критическое значение F найдем в стандартной таблице по значениям (n – m) и (m – 1).