Тема 4. Обобщающие статистические показатели

Раздел 2. Средние величины

По данной теме планируется две лекции и два практических занятия. Самостоятельная расчетная работа выполняется дома по общим заданиям. Контроль знаний по теме проводится путем написания текущей аудиторной контрольной работы.

Вопросы для рассмотрения на практическом занятии

1. Средняя арифметическая и методика ее расчета.

2. Средняя гармоническая и методика ее расчета.

3. Правила выбора формулы средней. Написание логических формул для осредняемой величины.

Литература: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 11.

Терминологический словарь

Средняя отражает типичный уровень показателя, присущий каждой единице исследуемой совокупности и одним значением характеризующий обобщенный количественный размер варьирующего признака. Математически средняя является центром распределения.

Методические рекомендации к решению типовой задачи по теме

Студенту следует усвоить виды степенных средних и приемы их вычисления по несгруппированным (простые средние) и по сгруппированным (взвешенные средние) данным.

Средняя арифметическая и средняя гармоническая являются взаимно обратными. Их формула в общем виде представляет собой отношение:

Расчетные формулы сведены в следующую таблицу:

Вид средней	Формула средней
	простая, вычисляется по несгруппированным данным	взвешенная, вычисляется по сгруппированным данным
Арифметическая
Гармоническая

Обозначения: – общая средняя;– индивидуальные значения варьирующего признака, по которому определяется простая средняя;– групповые средние значения варьирующего признака, по которому определяется взвешенная средняя;n – число единиц совокупности; – частота (показывает, сколько раз встречается в ряду распределения каждое значение групповой средней величины) или частость (удельный вес частоты в сумме частот); – объемный, результативный показатель, который показывает сумму индивидуальных значений варьирующего признака, которые попали в каждую группу.

Справедлива взаимосвязь: ;;.

Если среднее значение признака находят по сгруппированным данным, то вариантами () выступают или известные групповые средние:

,

или условно найденные средние каждого интервала:

.

Если известно число таких единиц, то всегда можно найти объем явления по группе (сумму индивидуальных значений вариантов, которые попали в группу):

.

Если же известны данные о групповых объемах явления по каждой группе и групповые средние, но неизвестно число единиц совокупности по группам, то его находят делением группового объема явления на соответствующую групповую среднюю:

Правила выбора формулы средней для расчета средней взвешенной (арифметической или гармонической):

1. Строится исходное соотношение средней, то есть записывается словами формула для расчета величины, из значений которой нужно найти общее среднее значение, например, нужно найти среднюю численность работников в одной бригаде ():

.

2. Если известны данные о показателе, который стоит в знаменателе исходного соотношения средней, то расчет средней проводят по формуле арифметической взвешенной.

3. Если известны данные о показателе, который стоит в числителе исходного соотношения средней, то ее рассчитывают по формуле гармонической взвешенной.

4. Весами при расчете средней может выступать только числитель, или знаменатель исходного соотношения средней, на посторонний показатель взвешивать нельзя.

5. Средняя найдена правильно, если результат расчетов и в числителе, и в знаменателе имеет экономический смысл и отвечает исходному соотношению.

Пример. Известны следующие данные о производстве фирмой однородных товаров двух видов за отчетный месяц:

Название товара	Фирма № 1		Фирма № 2
	цена за ед., грн	количество произведенных товаров, ед.	цена за ед., грн	произведено на сумму, грн
А	0,40	300	0,50	125
Б	1,20	450	1,50	630

Найдите среднюю цену за единицу товара двух видов вместе:

а) по фирме № 1;

б) по фирме № 2.

Решение:

1. Построим исходное соотношение средней (это цена, следовательно необходимо записать формулу для расчета цены):

2. Средняя цена в фирме № 1 рассчитывается по арифметической взвешенной, поскольку роль веса выполняет показатель, который стоит в знаменателе исходного соотношения:

средняя цена = 0,88 грн за ед.

Средняя цена в фирме № 2 рассчитывается по гармонической взвешенной, поскольку роль веса выполняет показатель, который стоит в числителе исходного соотношения:

Средняя цена 1,13 грн за ед.