Розв'язання системи рівнянь коміркової моделі

Розв'язання системи диференціальних рівнянь коміркової моделі каскаду, що складається з реакторів однакового об'єму, можна одержати у загальному вигляді аналітично. У випадку дії на вході одиничного імпульсу шуканим розв'язком вихідного математичного опису коміркової моделі каскаду реакторів (імпульсна перехідна функція, або С-крива) є

, (2.2-26)

‑ середній час перебування частинок потоку у кожній комірці. Якщо вхідний сигнал змінюється стрибкоподібно, то шуканий розв'язок математичного опису коміркової моделі каскаду реакторів (перехідна функція, або F-крива) отримується у вигляді

. (2.2-27)

На рис. 2.11аі 2.11бпоказані імпульсні й перехідні характеристики, побудовані відповідно до виразів для імпульсної перехідної (2.2-26) і перехідної (2.2-27) функцій при різних значеннях‑ кількості реакторів.

Застосування коміркової моделі

При використанні коміркової моделі для відтворення гідродинамічних властивостей реального потоку важливо вдало вибрати число комірок, оскільки значення цього параметра відображає ступінь перемішування речовини в апараті. Інженерні методи розрахунків числа комірок, при якому досягалася б адекватність коміркової моделі реальному процесу, розроблені поки ще недостатньо.

При визначенні числа комірок у ряді випадків можна скористатися формальною аналогією між «дифузійним» значенням критерію Пекле (франц.J.С. Péclet) і величиною, яка для колонних апаратів із достатньою для практичних розрахунків точністю виражається залежністю

, (2.2-28)

де — середня лінійна швидкість потоку;— висота зони потоку (у насадкових колонах — це висота насадки);— коефіцієнт поздовжнього перемішування.

За залежністю (2.2-28) можна обчислити і замість дифузійної застосувати в дослідженнях коміркову модель, яка є значно простішою.

Коміркова модель досить точно відтворює властивості потоків у послідовно з'єднаних апаратах з мішалками, що створюють інтенсивне перемішування (каскади реакторів) в абсорбційних і екстракційних колонах при деяких гідродинамічних режимах, і задовільно в апаратах із псевдоскрапленим шаром.

У промисловості значно поширені апарати, секційовані по висоті (по ходу потоку) ситовими або ґратчастими перегородками, які визначають циркуляцію потоку між секціями. Розглянута вище проста коміркова модель не може інтерпретувати гідродинаміку рухомого середовища в подібних апаратах. Для опису структури гідродинамічних потоків у таких апаратах останнім часом стали застосовувати коміркову модель зі зворотним перемішуванням між секціями(комірками), в основу якої покладена проста коміркова модель із внесенням у її рівняння відповідних змін. Коміркова модель зі зворотним перемішуванням використовується, зокрема, для вивчення процесу в секційованих барботажних реакторах, в апаратах із псевдоскрапленим шаром, у пульсаційно-тарілчастих і роторно-дискових екстракторах та ін.[1].

Лекція 6

4. Дифузійна модель Характеристика моделі

Дифузійна модель набула широкого поширення при оцінці реальних потоків в апаратах, у яких відбувається поздовжнє або поздожньо-радіальне перемішування (наприклад, потік у шарах насадки колонних апаратів). Природа виникнення поздовжнього й радіального перемішування досить складна. Виходячи з теорії масообміну, у наш час вважають, що перемішування виникає у результаті молекулярної й конвекційної дифузії.

Молекулярна дифузія— це перенесення маси речовини молекулами (областьмакрокінетики). Основним законом молекулярної дифузії є перший закон Фіка (Адольф Фік — німецький фізик, що встановив закони дифузії у 1855 р.), відповідно до якогокількість речовини, що дифундує через площу, перпендикулярну до напрямку дифузійного потоку, пропорційна градієнту концентрації, площі і часу:

, (2.2-29)

де — кількість речовини, що дифундує;- градієнт концентрації в напрямку дифузії;— елементарна площа, через яку відбувається дифузія (перпендикулярна до напрямку дифузійного потоку);— час дифузії;— коефіцієнт дифузії. Знак мінус у рівнянні показує, що при молекулярній дифузії в напрямку переміщення речовини концентрація зменшується.

Конвекційна дифузія— це перенесення речовини мікрочастинками середовища, яке визначається турбулентністю потоку, його гідродинамічним станом. Конвекційна дифузія пов'язана з уявленнямимакрокінетики. Основний закон конвекційної дифузії (закон Щукарєва) встановлює, щокількість речовини, перенесена від поверхні поділу фаз у сприймаючу фазу, пропорційна різниці концентрацій біля поверхні поділу фаз і в ядрі потоку сприймаючої фази, площі поверхні фазового контакту й часу:

, (2.2-30)

де — коефіцієнт масовіддачі;— концентрація у сприймаючій фазі на поверхні поділу фаз;— концентрація в ядрі потоку сприймаючої фази.

Розрізняють однопараметричну і двопараметричну дифузійні моделі. Якщо при побудові моделі враховують тільки поздовжнє перемішування, а в радіальному напрямку концентрацію беруть постійною, то така модель називаєтьсяодно параметричною. Така модель характеризується одним параметром, який враховує поздовжнє перемішування і позначається. Основою однопараметричної дифузійної моделі є модель витіснення, ускладнена зворотним перемішуванням.

Якщо задача вимагає, щоб математичний опис враховував, крім поздовжнього, і радіальне перемішування, то при складанні моделі необхідно ввести додатково другий параметр — коефіцієнт радіального перемішування — . Тоді модель стаєдвопараметричною. Вона більш точно відображає процес, але її опис і розв’язок значно ускладнюються.