Розв'язання диференціального рівняння моделі

Запишемо диференціальне рівняння (2.2-7) у стандартному вигляді

. (2.2-10)

Розв'язок цього рівняння при ненульовійправій частині (як неоднорідного диференціального рівняння) визначає зміну концентрації речовини в зоні ідеального перемішування під дією вхідної змінної – зміни концентрації вхідного потоку. Характер зміниу загальному випадку може бути довільним. Для того щоб можна було порівнювати між собою поведінку різних динамічних систем як вхідні випробувальні сигнали, найчастіше використовуються сигнали двох стандартних видів:ступінчастий та імпульсний.

Ступінчастий стандартний сигнал(див. рис. 2.5а) із математичним описомявляє собою миттєву стрибкоподібну зміну рівня від нульового до одиничного значення (відкриття засувки, увімкнення напруги). Реакцію системи на такий вид сигналу називаютьперехідною характеристикою(іноді її називають також «розгінною характеристикою»). У літературі за методами моделювання графік перехідної характеристики іноді зустрічається за назвоюF-кривої.

Імпульсний стандартний сигнал(див. рис. 2.5б)‑ це ідеалізований сигнал, який може бути представлений у вигляді імпульсу нескінченно малої тривалості й нескінченно великої висоти із площею, що дорівнює одиниці, але не може бути фізично реалізований. Незважаючи на неможливість реалізованості, він надає певні зручності при аналітичному розв'язку. Реакція системи на сигнал такого виду називаєтьсяімпульсною перехідною характеристикою(функцією ваги). У літературі за методами моделювання графік імпульсної перехідної характеристики іноді зустрічається за назвоюС-кривої.

Для об'єкта, структура потоку в якому відповідає моделі ідеального перемішування, розв’язки диференціального рівняння (2.2-10), що відповідають зазначеним стандартним сигналам, отримані у вигляді (див. рис. 2.6):

• при ступінчастому стандартному сигналі на вході

; (2.2-11)

• при імпульсному стандартному сигналі на вході

. (2.2-12)

На рисунках 2.6аі 2.6бпоказані імпульсна й перехідна характеристики, побудовані у відповідності до виразів для імпульсної (2.2-11) і перехідної (2.2-12) функцій при.

Умови фізичної реалізованості моделі ідеального перемішування

У хімічній технології наближення до умов ідеального перемішування досягається установкою в апаратах спеціальних мішалок. Тоді процеси, що відбуваються в реальних апаратах, у багатьох випадках можуть із достатнім для практики наближенням описуватися моделлю ідеального перемішування. Щонайкраще ця модель відповідає реальним потокам у проточних апаратах із мішалкою, у яких висотамало відрізняється від діаметра, мішалка створює високий ступінь перемішування йоб'ємна швидкість потоківневелика. У подібних випадках за рахунок інтенсивного перемішування можна досягти такого стану, коли концентрація речовини у всіх точках об'єму апарата стає практично однаковою, тобто структура потоку наближається до моделі ідеального перемішування.

2. Модель ідеального витіснення Характеристика моделі

Схематичне зображення моделі ідеального витіснення показане на рис. 2.7. Модель ідеального витіснення — це теоретична модель із ідеалізованою структурою потоку, що знаходиться в русі, відповідно до якої приймаєтьсяпоршнева течія без перемішування уздовж потоку при рівномірному розподілі концентрації речовини в напрямку, перпендикулярному до руху. При цьому час перебування всіх частинок у зоні ідеального витіснення однаковий й дорівнює відношенню об'єму зони витіснення до об'ємної витрати рідини (або газу).