Т е м а 2. Поверхности

Цель – проверить знания по разделу «Изображение в прямоугольных проекциях каркасов и очерков поверхностей, точек и линий, принадлежащих этим поверхностям».

Для успешной работы по этому заданию следует восстановить в памяти следующие теоретические сведения.

1.Линейным каркасом называется множество линий, имеющих единый закон образования и связанных между собой определенной зависимостью.

2.Под определителем поверхности понимают совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность. В число этих условий должны быть включены:

•геометрические фигуры (точки, линии, поверхности), с помощью которых может быть образована поверхность – геометрическая часть определителя – (Г) .

•алгоритм образования поверхности из геометрических фигур, включенных в состав геометрической части определителя, т.е. сведения о законе ее перемещения и характере изменения

формы производящей [A, A1 ] . Определитель любой поверхности можно представить в виде Ф(Г)[A, A1 ], где A – закон перемещения; A1 – закон изменения формы.

3.Очерком данной поверхности называют линию пересечения с плоскостью проекций проецирующей поверхности, обертывающей данную поверхность.

4.Построение линий и точек, принадлежащих поверхности, производится с помощью каркаса поверхности. Точка принадлежит поверхности, если она находится на линии этой поверхности.

Каркасные поверхности широко используются на практике. Например, поверхность зуба ци-

ния переходных участков между двумя поверхностями типа трубопроводов, имеющих различную форму, но одинаковую площадь нормального сечения, одинаковую форму, но различные площади сечения, различную форму и различные формы поперечных сечений, служит каналовая поверх-

ность Ф(a~, m~)[A, A1 ] , где a~ – криволинейная производящая, m~ – криволинейная направляющая.

Поверхность косого клина с определителем Ô(m~,n~,l ) используется при конструировании

поверхности крыла летательного аппарата. Поверхность однополосного гиперболоида вращения используется в строительном деле для передачи вращения с помощью зубчатых или фрикционных гиперболоидных колес при скрещивающихся осях. Косая плоскость Ô(m,n)[A] применяет-

ся в инженерно-строительной практике для формирования поверхностей откосов, насыпей, железных и автомобильных дорог, набережных, гидротехнических сооружений в местах сопряжения откосов, имеющих различные углы наклона. Широко используемые в технике сферические, тороидальные, глобоидные, эллипсоидные, параболические, гиперболические поверхности – поверхности вращения, определитель которых Ô(a,m)[A]. Общеизвестно значение и широкое

применение винтовых поверхностей, определитель Ô(a,m)[A], в технике (крепежные изделия,

домкраты, ходовые винты станков, судовые, самолетные и вентиляторные винты, червяки, сверла, винты транспортеров – шнеки и т.д.).

Рассмотрим более подробно использование косого клина на практике. Косым клином называется поверхность, которая образуется перемещением прямолинейной производящей по трем направляющим, расположенным в параллельных плоскостях, причем две направляющие – гладкие кривые, а третья – прямая линия. Прием конструирования линейчатой поверхности с пропорциональным делением хорд применяется при построении технической поверхности крыла летательного аппарата (рис. 4). Форма кривых m и n , являющихся направляющими поверхностями, позволяет строить в каждой из этих кривых единственные хорды соприкосновения AB и CD при большом диапазоне выбора направления проецирования S . Поверхность – косой клин – дает технологические преимущества при изготовлении каркаса и лучше удовлетворяет аэродинамическим

9

требованиям. Наличие третьей прямолинейной направляющей дает возможность простого построения чертежа каркаса поверхности при проецировании на плоскость, перпендикулярную направлению S . Любая плоскость γ , проходящая через направляющую l , делит хорды соприкосно-

вения AB и CD , опирающиеся на плоскости α и β, в одном и том же отношении.

l

Анализ данных. Поверхность задана полно, однозначно.

Анализ решения. Располагаем ли мы достаточными данными для построения поверхности? Да. Форма кривых m и n позволяет строить в каждой из этих кривых единственные хорды AB и CD , причем их горизонтальные проекции совпадают с горизонтальными проекциями кривых m и n . Если мы одну из хорд соприкосновения разделим на части и проведем через точки деления плоскость, проходящую через l , то и вторая хорда будет разделена на части в том же соотношении. Разделив хорды, мы найдем соответствующие делению точки на направляющих и, соединив их, построим каркас поверхности.

Располагаем ли мы данными для построения недостающих проекций точки и линий, принадлежащих поверхности? Да. Недостающие проекции мы найдем, если воспользуемся условием принадлежности: точка принадлежит поверхности, если она принадлежит прямой, лежащей на поверхности. Линия принадлежит поверхности, если она проходит через точки, лежащие на поверхности.

Алгоритм решения.

1.Делим горизонтальную проекцию хорды AB на четыре части.

2.Соединяем точки 1', 2', 3', 4' с точкой l′.

3.Находим фронтальные проекции точек 1 – 6.

4.Находим соответствующие пропорциональному делению хорд точки на направляющих

mи n , не давая им обозначение, чтобы не загромождать чертеж.

5.Строим проекции каркаса поверхности.

6.Строим горизонтальную проекцию линии K , для чего найдем горизонтальные проекции

точек 7 −10 (зная, что эти точки лежат на линиях каркаса a7;a8;a9;a10 ) и соединим их. 7. Строим фронтальную проекцию E′′ точки E , проведя для этого линию каркаса aE .

П р и м е р 2. Построить каркас оболочки, которая задана двумя направляющим m~ , [AB] и

плоскостью параллелизма α . Производящая a – прямая. Построить горизонтальную проекцию A′ точки A , лежащей на поверхности оболочки (рис. 6), по заданной фронтальной проекции A′′.

В"

С"

Х

Анализ данных. Поверхность задана полно. По определителю можно сказать, что это коноид. Плоскость параллелизма занимает частное положение относительно плоскостей проекций.

Она перпендикулярна H .

Анализ решения. Что нужно сделать для построения каркаса поверхности? Воспользовавшись тем, что плоскость параллелизма занимает частное положение α перпендикулярно H , мы

можем построить горизонтальные проекции производящих a1′, a2′ , a3′... параллельно горизон-

тальному следу плоскости α . После этого построить их фронтальные проекции не составит труда, так как нам известны горизонтальные проекции точек пересечения производящих с направляющими.

Для того чтобы определить горизонтальную проекцию точки A , следует воспользоваться условием принадлежности: точка принадлежит поверхности, если она находится на линии этой поверхности. В качестве такой линии удобно брать производящую, но в данном случае это невозможно, потому что мы не можем через A′′ провести фронтальную проекцию производящей.

Проведем через фронтальную проекцию точки A фронтальную проекцию любой линии, горизонтальную проекцию которой можно построить по точкам ее пересечения с линиями каркаса.

Теперь, используя линию связи, можно определить A′.

Алгоритм решения.

1. Проводим ai параллельно αH до пересечения с горизонтальными проекциями направ-

ляющих.

2. Используя линии связи, найдем фронтальные проекции точек пересечения линий каркаса направляющими и проведем ai′′.

3. Проводим b′′: A′′ b′′. Отмечаем 1′′, 2′′, 3′′ и т.д.

4.Находим проекции точек 1′, 2′, 3′, 4′ и проводим b′ .

5.Находим A′ b′.

П р и м е р 3. Построить проекции каркаса винтового транспортера. Дано: проекции вала транспортера (рис. 7) с осью i , перпендикулярной H , шаг винтовой линии h , наружный диаметр транспортера D . Производящая – прямая линия, параллельная плоскости H , в каждом положении пересекает винтовую линию и ось i . Найти горизонтальную проекцию A′ точки A ,

лежащей на поверхности транспортера по заданной фронтальной проекции A′′.

Анализ данных. Определитель поверхности – геометрическая часть; производящая – прямая линия, направляющие – цилиндрическая винтовая линия l и прямая i , перпендикуляр-

ная H , плоскость параллелизма H . Поверхность транспортера – прямой (кольцевой) винтовой коноид.

Анализ решения. Построить проекции каркаса – изобразить ряд положений производящей поверхности. Так как производящая – горизонталь, то положение ее фронтальной проекции параллельно оси X . Так как один конец производящей перемещается по цилиндрической винтовой линии, а другой в любой момент времени пересекает ось, то можно утверждать, что на поверхности вала транспортера образуется цилиндрическая винтовая линия. Горизонтальную проекцию точки A найдем из условия принадлежности: если точка принадлежит поверхности, то она лежит на линии, принадлежащей поверхности. В качестве такой линии удобно взять производящую aA .

Алгоритм решения.

1.Изображаем горизонтальную проекцию каркаса, взяв 12 производящих, равноотстоящих друг от друга.

2.Строим фронтальную проекцию направляющей винтовой линии и винтовой линии на поверхности вала транспортера, разбив шаг винтовой линии на 12 промежутков.

3.Строим фронтальную проекцию каркаса транспортера, зная, что линии каркаса – горизон-

тали.

4.Находим горизонтальную проекцию точки A . Для этого проводим фронтальную проек-

цию производящей a′A′ , на которой лежит точка A , строим ее горизонтальную проекцию a′A и искомую горизонтальную проекцию A′ точки A .

12

П р и м е р 4. Построить фронтальную проекцию одного витка правой специальной трапецеидальной резьбы (профиль ABCD ) с шагом h на цилиндрическом стержне диаметром d .

Анализ данных. Можно утверждать, что точки C и D профиля описывают винтовые линии

на цилиндре диаметра d , а точки A и B – на поверхности цилиндра диаметра D = d +2A′′B′′. Так как направление винтовой линии правое, то подъем винтового выступа на видимой стороне цилиндра должен идти слева направо.

Анализ решения. Решение задачи сводится к построению винтовых линий на цилиндрических поверхностях, что легко сделать, разделив окружности оснований цилиндров и шаг винта на одинаковое, равное количество частей. Отрезки BC , AD , AB , скользя по винтовым направляющим, образуют соответственно кольцевой косой геликоид, кольцевой прямой геликоид,

13

Вариант 3. Построить проекции конуса вращения с вершиной в точке S и основанием радиусом R =30 , расположенным на плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми a и b . Построить проекции точки A , принадлежащей конической поверхности.

Вариант 4. Построить проекции конуса вращения с вершиной в точке S и основанием радиусом R =30 , расположенным на плоскости, заданной линией ската c . Построить проекции точки A , принадлежащей конической поверхности.

Вариант 5. Построить проекции цилиндрической поверхности вращения, заданной тремя прямыми a,b и ñ, принадлежащими ее каркасу. Построить проекции образующей, проходящей через точку A .

Вариант 6. Построить проекции цилиндрической поверхности вращения, заданной тремя прямыми a,b и ñ, принадлежащими ее каркасу. Построить проекции образующей, проходящей через точку A .

Вариант 7. Даны прямые a,b и ñ, которые принадлежат каркасу конической поверхности. Построить проекции конуса, если известны истинные величины образующих (80 мм) и то, что направляющая – окружность. Найти проекции точки A , лежащей на поверхности.

Вариант 8. Даны прямые a,b и ñ, которые принадлежат каркасу конической поверхности. Построить проекции конуса, если известны истинные величины образующих (80 мм) и то, что направляющая – окружность. Найти проекции точки A , лежащей на поверхности.

Вариант 9. Построить очерк поверхности вращения, заданной образующей m и осью i . Указать проекции экватора, горла и главного меридиана. Построить проекцию линии n , лежащей на поверхности цилиндроида.

Вариант 10. Построить очерк поверхности вращения, заданной образующей m и осью i . Указать проекции экватора, горла и главного меридиана. Построить проекцию линии n , лежащей на поверхности цилиндроида.

Варианты 11–20. Построить каркас воздухозаборника (крыши, оболочки, устоя опоры моста, поверхности дамбы), образованного перемещением прямолинейной производящей, по направляющим [AB] и n , α – плоскость параллелизма. Построить недостающие проекции точки C и линии b , лежащих на поверхности.

Варианты 21–24. Шнековый транспортер состоит из вала (диаметр d ) и соединенного с ним винтового выступа. Построить проекции каркаса прямолинейных производящих поверхности шнека – косого геликоида. Дано: ось i , направляющий конус с углом при вершине ϕ, горизонтальная проекция и шаг направляющей линии – правой цилиндрической винтовой линии. Построить недостающую проекцию точки A , лежащей на поверхности шнека.

15

16