Д.Е. ТИХОНОВ-БУГРОВ, В.В. ШКВАРЦОВ

РЕШЕНИЕПРИКЛАДНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХЗАДАЧ НАОРТОГОНАЛЬНОМЧЕРТЕЖЕ

Министерство образования и науки Российской федерации Балтийский государственный технический университет «Военмех»

Д.Е. ТИХОНОВ-БУГРОВ, В.В. ШКВАРЦОВ

РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ОРТОГОНАЛЬНОМ ЧЕРТЕЖЕ

Учебно-практическое пособие

Санкт-Петербург

2011

УДК 514.182(076) Т46

Тихонов-Бугров, Д.Е.

Т46 Решение прикладных геометрических задач на ортогональном чертеже: учебно-практическое пособие / Д.Е. Тихонов-Бугров, В.В. Шкварцов; Балт. гос. техн. ун-т. – СПб., 2011. – 61 с.

ISBN 978-5-85546-592-1

Предложен широкий спектр прикладных задач по основным разделам курса «Начертательная геометрия и инженерная графика». Приводятся необходимые теоретические сведения, примеры решения ключевых задач, оформления графических работ.

Предназначено для студентов всех специальностей дневной и вечерней форм обучения.

УДК 514.182(076)

Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, доц. СПб государственного Технологического института (технического университета) В.П. Давыдов

Утверждено редакционно-издательским советом университета

Введение

Умение конструировать неотделимо от способности пространственно мыслить и выражать свои мысли графически. Основные классические задачи начертательной геометрии в подготовке специалиста – развитие творческого пространственного мышления (одной из важнейших составляющих невербального интеллекта); способностей к анализу и синтезу пространственных моделей и их отношений на базе графических отображений; решение и оптимизация решений путём преобразования геометрических моделей.

Технологии, позволяющие создавать единую интегрированную модель продукта и обеспечивающие непрерывное сопровождение его жизненного цикла, интеллектуально совместимы с традиционными методами и базируются на визуальной образованности и творческом мышлении, которые развиваются при изучении начертательной геометрии.

В большинстве видов человеческой деятельности в той или иной степени используются графические образы. Начертательная геометрия является базой не только при проектировании и подготовке производства, но и при разработке алгоритмов и программ, моделировании и анализе процессов в научном эксперименте, дизайне (промышленном и графическом), рекламе, создании информационно-коммуникационной среды.

Начертательная геометрия тесно связана с такими дисциплинами, как детали машин, приборов и механизмов, теория механизмов и машин, технология машиностроения, метрология, многочисленные курсы по проектированию техники. Как показывает опыт, лучшим средством создания всевозможных тренажёров и тестовых систем для развития пространственного представления является решение на комплексном чертеже различных позиционных, метрических и конструктивных задач, в том числе имеющих практическое приложение.

Цель настоящего учебного пособия, призванного облегчить самостоятельную работу студентов над курсом начертательной геометрии:

•познакомить читателей с методологией решения позиционных, метрических и конструктивных задач;

•изложить основные положения теории, необходимые для понимания особенностей ре-

шений;

•привести примеры задач, предлагаемых в рабочих тетрадях и на контрольных работах с подробным разбором решений.

Т е м а 1. Точка и прямая линия

Цель – закрепить знания о свойствах параллельного прямоугольного проецирования, выработать навыки решения задач на определение взаимного положения точек и прямых в прямоугольных проекциях.

Для выполнения заданий по данной теме следует вспомнить следующие теоретические положения:

1.При параллельном проецировании проекции параллельных прямых параллельны, сохраняется отношение длин отрезков.

2.Если стороны угла не параллельны плоскости проекции, то угол проецируется на эту плоскость с искажениями. Для проецирования прямого угла ортогонально без искажения на плоскость проекций необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере одна его сторона была параллельна, а вторая неперпендикулярна этой плоскости.

3.Прямые, перпендикулярные или параллельные плоскости проекций, называются прямыми частного положения. Если прямая параллельна горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости проекций, то она называется горизонталью, фронталью или профилью соответственно.

3

Если прямая перпендикулярна к горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости проекций, то она называется горизонтально-, фронтально-, профильно-проецирующей прямой соответственно.

Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в истинную величину.

4. Истинную величину отрезка прямой общего положения и угол ее наклона к плоскости проекций можно определить методом прямоугольного треугольника, суть которого в том, что для графического определения на чертеже действительной величины отрезка достаточно построить прямоугольный треугольник, взяв за один его катет горизонтальную (фронтальную) проекцию отрезка, а за другой – разность удаления концов отрезка от горизонтальной (фронтальной) плоскости проекций. Искомый угол лежит в прямоугольном треугольнике напротив катета, представляющего разность удаления концов отрезка от плоскости проекций.

Рассмотренные положения помогут в построении на чертеже различных геометрических образов, применяемых в инженерном деле, в частности в решении задач, связанных со стержневыми конструкциями (фермами). Методы начертательной геометрии применяются как при конструктивном оформлении ферм, подъемно-транспортной техники, так и при определении усилий в их элементах. Мосты, подъемные краны, буровые вышки, мачты высоковольтных линий и т.д. – пространственные стержневые конструкции. Стальные стержни различных профилей соединяются сваркой и клепкой. Несколько сходящихся стержней образуют узел. Комплексные чертежи сложных конструкций иногда дополняются для облегчения сборки наглядными изображениями (аксонометрическими проекциями), которые также строятся по правилам, изучаемым в начертательной геометрии. Для технических расчетов стержневые конструкции вычерчиваются упрощенно: каждый стержень изображается отрезком прямой. Расчеты ферм, в конечном счете, сводятся к задачам на сложение и разложение усилий – пространственных векторов. В этом случае, если имеют дело с системами, имеющими большое количество узлов, вырезают из фермы последовательно отдельные узлы и рассматривают усилия в стержнях каждого узла. Задачи такого рода рассматриваются (с применением графических методов) в курсах теоретической и строительной механики.

Прежде чем обратиться к примеру, рассмотрим последовательность решения всех заданий.

1.Анализ данных. По указанным проекциям геометрических образов, составляющих исходные данные задания, представляют их форму и взаимное расположение в пространстве как по отношению друг к другу, так и относительно плоскостей проекций.

2.Анализ решения. На этом этапе намечается «пространственный» план решения задач, ус-

танавливается последовательность геометрических операций, при помощи которых может быть получен ответ на поставленную задачу, и выбирается оптимальный ход решения.

3.Запись алгоритма выбранного решения.

4.Геометрические построения – реализация на чертеже составленного плана решения задачи в пространстве с помощью инструмента.

Следует иметь в виду, что в ряде случаев некоторые этапы могут отсутствовать.

П р и м е р. Построить ортогональные проекции элемента AEHD фермы (рис. 1), если дано: три проекции стержня EH ; фронтальная проекция высоты равнобокой трапеции AEHD лежит

на a ; высота трапеции равна 1,5EH ; AE = 2EH .

Анализ данных. Отрезок EH – горизонталь, следовательно, E′H′ – истинная величина EH . Прямая a EH ; EH // AD .

Анализ решения. Располагаем ли мы достаточной информацией для того, чтобы построить проекции высоты AEDH ? Да. Нам известно, что a EH , следовательно, a′ E′H′. Нам и з- вестна истинная величина высоты. Воспользовавшись способом прямоугольного треугольника и тем обстоятельством, что | EH |= E′H′, мы можем построить проекции высоты.

Можем ли мы теперь построить проекции большого основания трапеции? Да, так как мы знаем, что EH // AD , истинные величины высоты и боковой стороны трапеции.

Алгоритм решения (рис. 2).

1.Проводим горизонтальную проекцию прямой a′ E′H′, а' принадлежит E′.

2.Берем произвольную точку на прямой a –(•)1; (•)1 принадлежит a .

3.Находим истинную величину [E −1] . Для этого строим прямоугольный треугольник

E′1′K , у которого 1′K = ∆z(1− E) ; E′K = (E −1) .

4

Варианты 1–5. Построить ортогональные проекции элемента ESF фермы. Дано: проекции стержня EF , треугольник ESF равносторонний, высота треугольника ESF лежит на прямой a . Определить углы наклона стержня ES к плоскостям проекций.

Варианты 6–10. Построить ортогональные проекции элемента ASD фермы. Дано: проекции стержня EF , треугольник ASD равнобедренный, высота треугольника ASD лежит на прямой a и ее истинная величина равна 2EF , стержень EF делит высоту на две равные части. Определить периметр элемента ASD .

пересечения диагоналей. Определить углы наклона AC к плоскостям проекций.

5

6

7

8